Um gás ideal
inicialmente a
e
, passa por um ciclo de processos reversíveis composto pelas seguintes etapas:
a) Aquecimento a volume constante até
b) Expansão isotérmica até a pressão inicial
c) Resfriamento isobárico até o estado inicial
Calcule calor, trabalho e variações de energia interna, entalpia e entropia para cada etapa do ciclo e para o ciclo completo
a) Aquecimento a volume constante até
b) Expansão isotérmica até a pressão inicial
c) Resfriamento isobárico até o estado inicial
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que vou assumir (não posso te perguntar nada, então explicitarei as hipóteses necessárias).
Dados fornecidos (texto do enunciado):
- Capacidade térmica molar a pressão constante:
. - Pressão inicial:
(esta notação está ambígua: pode ser mili-Pascal ou MegaPascal com letra maiúscula; isso faria enorme diferença). Eu NÃO tenho certeza sobre essa notação no enunciado. Para prosseguir, vou assumir que o autor quis dizer (valor típico em exercícios). Se a intenção for outra, os números mudam proporcionalmente. - Temperatura inicial:
. - O ciclo tem 3 etapas (reversíveis):
a) aquecimento a volume constante até;
b) expansão isotérmica (em) até a pressão voltar ao valor inicial;
c) resfriamento isobárico até o estado inicial. - nenhuma quantidade de matéria (
) foi indicada. Vou assumir (se houver outra quantidade, multiplica-se os resultados por ).
Valores numéricos assumidos (para cálculos):
O que o enunciado pede:
- Para cada etapa (a, b, c): calcular
(calor trocado), (trabalho realizado pelo gás), (variação de energia interna), (variação de entalpia) e (variação de entropia). - Para o ciclo completo: os mesmos cinco termos (somando as etapas).
Passo 2
Regras físicas e convenções (explicação didática):
- Vou usar a lei dos gases ideais:
onde
é pressão em pascal,
volume em
,
número de mols,
constante dos gases perfeitos (
) e
a temperatura em kelvin.
- Para um gás ideal com capacidades molares constantes:
Aqui
e
são as capacidades molares (por mol),
.
- Convenção de sinais (usarei a convenção usual em termodinâmica química/engenharia):
-
quando o sistema recebe calor. -
quando o sistema realiza trabalho sobre o entorno (trabalho realizado pelo gás). - Primeira lei:
(com essa convenção de sinais). - Para trabalho de expansão reversível:
.
-
- Fórmulas úteis para processos reversíveis ideais:
- Isocórico (volume constante):
- Isotérmico (temperatura constante):
- Isobárico (pressão constante):
- Isocórico (volume constante):
- Vou calcular
a partir de fornecido:
(Manterei algumas casas decimais para consistência e arredondarei no final.)
Passo 3
Calcular o volume inicial e a pressão/volume nos estados intermediários (usar lei dos gases ideais).
Volume inicial
:
Após a etapa (a) (aquecimento a volume constante) o volume não muda:
. A nova pressão
obedece
Na etapa (b) (isotérmica a
) o gás expande até que a pressão volte a
. O volume final
é
Resumo numérico de estados:
Passo 4
Cálculo detalhado da etapa (a): aquecimento a volume constante
com
.
- Trabalho: em volume constante,
. - Variação de energia interna:
Cálculo numérico:
- Calor trocado (pela primeira lei):
, então
- Variação de entalpia:
- Variação de entropia (processo reversível a
const):
Com
,
Interpretação curta: no aquecimento isocórico o sistema recebe calor
, sua energia interna sobe pelo mesmo valor, nenhuma energia sai em trabalho e a entropia aumenta porque a temperatura subiu.
Passo 5
Cálculo detalhado da etapa (b): expansão isotérmica reversível a
desde
até
(pressão volta a
).
- Para isotérmico ideal:
e . - Razão de volumes:
- Trabalho (e calor, já que
):
Usando
,
- Variação de entropia:
Interpretação: o gás realiza trabalho
enquanto recebe essa mesma quantidade de calor (isotérmico), sem mudança de energia interna; a entropia aumenta.
Passo 6
Cálculo detalhado da etapa (c): resfriamento isobárico (pressão igual a
) de
até
e volume
.
- Variação de temperatura:
. - Trabalho realizado pelo gás (isobárico,
):
(Sinal negativo indica que, durante o resfriamento, o gás sofre compressão feita pelo entorno — o trabalho é feito sobre o gás.)
- Calor trocado:
- Variação de energia interna:
- Variação de entalpia:
- Variação de entropia (processo reversível a pressão constante):
Como
,
Interpretação: durante o resfriamento o sistema perde calor (cerca de
), sua energia interna e entalpia caem, o entorno realiza trabalho sobre o gás (trabalho negativo do gás), e a entropia do gás diminui.
Passo 7
Somatórios para o ciclo completo (checar consistência física).
Somando os valores obtidos (arredondando com consistência):
- Variação total de energia interna:
(Como esperado para um ciclo: energia interna é função de estado, retorna ao valor inicial.)
- Variação total de entalpia:
- Trabalho total realizado pelo gás no ciclo:
- Calor total trocado no ciclo:
(Deve valer
pela primeira lei para ciclo fechado; a pequena diferença é arredondamento.)
- Variação total de entropia do gás (processo reversível total):
(Para ciclo reversível, variação total de entropia do sistema é zero; o pequeno resíduo é erro de arredondamento.)
Passo 8
Resumo e dicas rápidas para a prova (didática e prática):
- Sempre identifique o tipo de processo: a) isocórico → W=0; b) isotérmico → ΔU=0 e Q=W=nRT ln(Vf/Vi); c) isobárico → W=nRΔT e Q=nC_PΔT.
- Verifique se
dado é por mol; calcule . - Use
para obter volumes ou pressões intermediárias; aqui foi útil para relacionar as razões . - Mantenha atenção aos sinais: trabalho positivo quando realizado pelo gás.
Resposta
a) Etapa (a) — aquecimento isocórico (
):
Q
W
Q
W
b) Etapa (b) — expansão isotérmica (
constante,
):
Q
W
Q
W
c) Etapa (c) — resfriamento isobárico (
):
Q
W
Q
W
Ciclo completo (soma das etapas):