Um gás ideal \left(\mathrm{Cp}^{*}=29,3 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{k}\right) inicialmente a 0,01 \mathrm{mPa} e 25^{\circ} \mathrm{C}, passa por um ciclo de processos reversíveis composto pelas seguintes etapas:
a) Aquecimento a volume constante até 300^{\circ} \mathrm{C}
b) Expansão isotérmica até a pressão inicial
c) Resfriamento isobárico até o estado inicial
Calcule calor, trabalho e variações de energia interna, entalpia e entropia para cada etapa do ciclo e para o ciclo completo

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que vou assumir (não posso te perguntar nada, então explicitarei as hipóteses necessárias).
Dados fornecidos (texto do enunciado):
  • Capacidade térmica molar a pressão constante: \displaystyle C_P^*=29{,}3\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Pressão inicial: \displaystyle 0,01\\ \mathrm{mPa} (esta notação está ambígua: pode ser mili-Pascal ou MegaPascal com letra maiúscula; isso faria enorme diferença). Eu NÃO tenho certeza sobre essa notação no enunciado. Para prosseguir, vou assumir que o autor quis dizer \displaystyle 0,01\\ \mathrm{MPa} (valor típico em exercícios). Se a intenção for outra, os números mudam proporcionalmente.
  • Temperatura inicial: \displaystyle 25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • O ciclo tem 3 etapas (reversíveis):
    a) aquecimento a volume constante até \displaystyle 300^\circ\mathrm{C}=573{,}15\\ \mathrm{K};
    b) expansão isotérmica (em \displaystyle 573{,}15\\ \mathrm{K}) até a pressão voltar ao valor inicial;
    c) resfriamento isobárico até o estado inicial.
  • nenhuma quantidade de matéria ( n) foi indicada. Vou assumir \displaystyle n=1\\ \mathrm{mol} (se houver outra quantidade, multiplica-se os resultados por n).
Valores numéricos assumidos (para cálculos):
\begin{aligned} &n=1\\ \mathrm{mol},\\\ &p_1=0{,}01\\ \mathrm{MPa}=0{,}01\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=10\,000\\ \mathrm{Pa},\\\ &T_1=298{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2=573{,}15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}
O que o enunciado pede:
  • Para cada etapa (a, b, c): calcular \displaystyle Q (calor trocado), \displaystyle W (trabalho realizado pelo gás), \displaystyle \Delta U (variação de energia interna), \displaystyle \Delta H (variação de entalpia) e \displaystyle \Delta S (variação de entropia).
  • Para o ciclo completo: os mesmos cinco termos (somando as etapas).

Passo 2

Regras físicas e convenções (explicação didática):
  • Vou usar a lei dos gases ideais:
pV=nRT,
onde \displaystyle p é pressão em pascal, \displaystyle V volume em \mathrm{m^3}, \displaystyle n número de mols, \displaystyle R constante dos gases perfeitos ( \displaystyle R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}) e \displaystyle T a temperatura em kelvin.
  • Para um gás ideal com capacidades molares constantes:
C_V=C_P-R,\qquad \Delta U=nC_V\Delta T,\qquad \Delta H = nC_P\Delta T.
Aqui \displaystyle C_P e \displaystyle C_V são as capacidades molares (por mol), \displaystyle \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  • Convenção de sinais (usarei a convenção usual em termodinâmica química/engenharia):
    • \displaystyle Q>0 quando o sistema recebe calor.
    • \displaystyle W>0 quando o sistema realiza trabalho sobre o entorno (trabalho realizado pelo gás).
    • Primeira lei: \displaystyle \Delta U = Q - W (com essa convenção de sinais).
    • Para trabalho de expansão reversível: \displaystyle W=\int p\,dV.
  • Fórmulas úteis para processos reversíveis ideais:
    • Isocórico (volume constante): \displaystyle W=0,\\ Q=nC_V\Delta T,\\ \Delta S=nC_V\ln\!\frac{T_2}{T_1}.
    • Isotérmico (temperatura constante): \displaystyle \Delta U=0,\\ \Delta H=0,\\ Q=W=nRT\ln\!\frac{V_f}{V_i},\\ \Delta S=nR\ln\!\frac{V_f}{V_i}.
    • Isobárico (pressão constante): \displaystyle W=p\Delta V=nR\Delta T,\\ Q=nC_P\Delta T,\\ \Delta S=nC_P\ln\!\frac{T_f}{T_i}.
  • Vou calcular C_V a partir de C_P fornecido:
C_V=C_P-R=29{,}3-8{,}314=20{,}986\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
(Manterei algumas casas decimais para consistência e arredondarei no final.)

Passo 3

Calcular o volume inicial e a pressão/volume nos estados intermediários (usar lei dos gases ideais).
Volume inicial \displaystyle V_1:
V_1=\frac{nRT_1}{p_1}=\frac{1\cdot 8{,}314\cdot 298{,}15}{10\,000}\\ \mathrm{m^3}\approx 0{,}2479\\ \mathrm{m^3}.
Após a etapa (a) (aquecimento a volume constante) o volume não muda: \displaystyle V_2=V_1. A nova pressão \displaystyle p_2 obedece
p_2=\frac{nRT_2}{V_2}=p_1\frac{T_2}{T_1}=10\,000\cdot\frac{573{,}15}{298{,}15}\\ \mathrm{Pa}\approx 19\,220\\ \mathrm{Pa}.
Na etapa (b) (isotérmica a \displaystyle T_2) o gás expande até que a pressão volte a \displaystyle p_1. O volume final \displaystyle V_3 é
V_3=\frac{nRT_2}{p_1}=V_1\frac{T_2}{T_1}\approx 0{,}2479\cdot\frac{573{,}15}{298{,}15}\approx 0{,}4764\\ \mathrm{m^3}.
Resumo numérico de estados:
\begin{aligned} &\text{Estado 1 (inicial)}:\\ p_1=10\,000\\ \mathrm{Pa},\\ T_1=298{,}15\\ \mathrm{K},\\ V_1\approx 0{,}2479\\ \mathrm{m^3}.\\\ &\text{Estado 2 (após (a))}:\\ p_2\approx 19\,220\\ \mathrm{Pa},\\ T_2=573{,}15\\ \mathrm{K},\\ V_2=V_1.\\\ &\text{Estado 3 (após (b))}:\\ p_3=p_1=10\,000\\ \mathrm{Pa},\\ T_3=573{,}15\\ \mathrm{K},\\ V_3\approx 0{,}4764\\ \mathrm{m^3}. \end{aligned}óó

Passo 4

Cálculo detalhado da etapa (a): aquecimento a volume constante V_1\to V_2 com T_1\to T_2.
  • Trabalho: em volume constante, \displaystyle W_a=0.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_a = nC_V(T_2-T_1)=1\cdot 20{,}986\cdot(573{,}15-298{,}15)=20{,}986\cdot 275\\ \mathrm{J}.
Cálculo numérico:
\Delta U_a\approx 20{,}986\times 275 \approx 5\,771{,}2\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado (pela primeira lei): \displaystyle Q_a=\Delta U_a+W_a=\Delta U_a, então
Q_a\approx 5\,771{,}2\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
\Delta H_a=nC_P(T_2-T_1)=1\cdot 29{,}3\cdot 275\approx 8\,057{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entropia (processo reversível a V= const):
\Delta S_a = nC_V\ln\!\frac{T_2}{T_1}=20{,}986\ln\!\frac{573{,}15}{298{,}15}.
Com \displaystyle \ln\!\frac{573{,}15}{298{,}15}\approx 0{,}6533,
\Delta S_a\approx 20{,}986\times 0{,}6533 \approx 13{,}71\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.
Interpretação curta: no aquecimento isocórico o sistema recebe calor \approx 5{,}77\\ \mathrm{kJ}, sua energia interna sobe pelo mesmo valor, nenhuma energia sai em trabalho e a entropia aumenta porque a temperatura subiu.

Passo 5

Cálculo detalhado da etapa (b): expansão isotérmica reversível a \displaystyle T_2 desde \displaystyle V_2 até \displaystyle V_3 (pressão volta a \displaystyle p_1).
  • Para isotérmico ideal: \displaystyle \Delta U_b=0 e \displaystyle \Delta H_b=0.
  • Razão de volumes:
\frac{V_3}{V_2}=\frac{V_1\frac{T_2}{T_1}}{V_1}=\frac{T_2}{T_1}\approx \frac{573{,}15}{298{,}15}\approx 1{,}922.
  • Trabalho (e calor, já que \Delta U=0):
W_b = Q_b = nRT_2\ln\!\frac{V_3}{V_2}=1\cdot 8{,}314\cdot 573{,}15\cdot \ln(1{,}922).
Usando \ln(1{,}922)\approx 0{,}6533,
W_b=Q_b\approx 8{,}314\times 573{,}15\times 0{,}6533\approx 3\,112{,}6\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entropia:
\Delta S_b = nR\ln\!\frac{V_3}{V_2}=8{,}314\cdot 0{,}6533\approx 5{,}431\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.
Interpretação: o gás realiza trabalho \approx 3{,}11\\ \mathrm{kJ} enquanto recebe essa mesma quantidade de calor (isotérmico), sem mudança de energia interna; a entropia aumenta.

Passo 6

Cálculo detalhado da etapa (c): resfriamento isobárico (pressão igual a \displaystyle p_1) de \displaystyle T_2 até \displaystyle T_1 e volume \displaystyle V_3\to V_1.
  • Variação de temperatura: \displaystyle \Delta T=T_1-T_2=298{,}15-573{,}15=-275\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho realizado pelo gás (isobárico, W=p\Delta V=nR\Delta T):
W_c = nR(T_1-T_2)=1\cdot 8{,}314\cdot(-275)\approx -2\,286{,}9\\ \mathrm{J}.
(Sinal negativo indica que, durante o resfriamento, o gás sofre compressão feita pelo entorno — o trabalho é feito sobre o gás.)
  • Calor trocado:
Q_c=nC_P\Delta T=1\cdot 29{,}3\cdot(-275)\approx -8\,057{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_c=nC_V\Delta T=1\cdot 20{,}986\cdot(-275)\approx -5\,771{,}2\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
\Delta H_c = nC_P\Delta T\approx -8\,057{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entropia (processo reversível a pressão constante):
\Delta S_c = nC_P\ln\!\frac{T_1}{T_2}=29{,}3\ln\!\frac{298{,}15}{573{,}15}=29{,}3\ln(1/1{,}922).
Como \ln(1/1{,}922)=-0{,}6533,
\Delta S_c\approx 29{,}3\times(-0{,}6533)\approx -19{,}15\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.
Interpretação: durante o resfriamento o sistema perde calor (cerca de 8{,}06\\ \mathrm{kJ}), sua energia interna e entalpia caem, o entorno realiza trabalho sobre o gás (trabalho negativo do gás), e a entropia do gás diminui.

Passo 7

Somatórios para o ciclo completo (checar consistência física).
Somando os valores obtidos (arredondando com consistência):
  • Variação total de energia interna:
\Delta U_{\text{ciclo}}=\Delta U_a+\Delta U_b+\Delta U_c\approx 5\,771{,}2+0+(-5\,771{,}2)=0\\ \mathrm{J}.
(Como esperado para um ciclo: energia interna é função de estado, retorna ao valor inicial.)
  • Variação total de entalpia:
\Delta H_{\text{ciclo}}=\Delta H_a+\Delta H_b+\Delta H_c\approx 8\,057{,}5+0+(-8\,057{,}5)=0\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho total realizado pelo gás no ciclo:
W_{\text{ciclo}}=W_a+W_b+W_c\approx 0+3\,112{,}6+(-2\,286{,}9)\approx 825{,}7\\ \mathrm{J}.
  • Calor total trocado no ciclo:
Q_{\text{ciclo}}=Q_a+Q_b+Q_c\approx 5\,771{,}2+3\,112{,}6+(-8\,057{,}5)\approx 826{,}3\\ \mathrm{J}.
(Deve valer Q_{\text{ciclo}}=W_{\text{ciclo}} pela primeira lei para ciclo fechado; a pequena diferença é arredondamento.)
  • Variação total de entropia do gás (processo reversível total):
\Delta S_{\text{ciclo}}=\Delta S_a+\Delta S_b+\Delta S_c\approx 13{,}71+5{,}431+(-19{,}15)\approx -0{,}01\\ \mathrm{J\;K^{-1}}\approx 0.
(Para ciclo reversível, variação total de entropia do sistema é zero; o pequeno resíduo é erro de arredondamento.)

Passo 8

Resumo e dicas rápidas para a prova (didática e prática):
  • Sempre identifique o tipo de processo: a) isocórico → W=0; b) isotérmico → ΔU=0 e Q=W=nRT ln(Vf/Vi); c) isobárico → W=nRΔT e Q=nC_PΔT.
  • Verifique se C_P dado é por mol; calcule C_V=C_P-R.
  • Use pV=nRT para obter volumes ou pressões intermediárias; aqui foi útil para relacionar as razões V_3/V_2=T_2/T_1.
  • Mantenha atenção aos sinais: trabalho positivo quando realizado pelo gás.

Resposta

a) Etapa (a) — aquecimento isocórico ( T_1\to T_2):
Q = 5\,771{,}2\\ \mathrm{J}
W = 0\\ \mathrm{J}
\Delta U = 5\,771{,}2\\ \mathrm{J}
\Delta H = 8\,057{,}5\\ \mathrm{J}
\Delta S = 13{,}71\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
b) Etapa (b) — expansão isotérmica ( T_2 constante, p_2\to p_1):
Q = 3\,112{,}6\\ \mathrm{J}
W = 3\,112{,}6\\ \mathrm{J}
\Delta U = 0\\ \mathrm{J}
\Delta H = 0\\ \mathrm{J}
\Delta S = 5{,}431\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
c) Etapa (c) — resfriamento isobárico ( T_2\to T_1):
Q = -8\,057{,}5\\ \mathrm{J}
W = -2\,286{,}9\\ \mathrm{J}
\Delta U = -5\,771{,}2\\ \mathrm{J}
\Delta H = -8\,057{,}5\\ \mathrm{J}
\Delta S = -19{,}15\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
Ciclo completo (soma das etapas):
\Delta U_{\text{ciclo}}=0\\ \mathrm{J}
\Delta H_{\text{ciclo}}=0\\ \mathrm{J}
W_{\text{ciclo}}\approx 825{,}7\\ \mathrm{J}
Q_{\text{ciclo}}\approx 826{,}3\\ \mathrm{J}
\Delta S_{\text{ciclo}}\approx 0\\ \mathrm{J\;K^{-1}}

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