Nitrogênio entra a 1,013 bar e é comprimido até 8 bar. Num processo adiabático. A temperatura inicial é 320 K , vazão de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Calcule a potência necessária.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa só:
Dados:
P_1=1{,}013\\ \mathrm{bar},
P_2=8\\ \mathrm{bar},
T_1=320\\ \mathrm{K},
\dot{m}=0{,}5\\ \mathrm{kg/s},
processo: adiabático.
Pedido:
Calcular a potência necessária (potência do compressor).

Passo 2

Observação importante (escolha do método): o enunciado diz apenas “adiabático”. Isso significa que não há troca de calor com o meio, mas para obter a variação de temperatura (e portanto o trabalho) precisamos de uma relação entre T_2 e T_1. A hipótese mais usada em problemas de estimativa de potência de compressor é assumir que o processo é adiabático e reversível (ou seja, isentrópico). Vou adotar aqui compressão adiabática e isentrópica — é a forma padrão quando não é dada eficiência do compressor. Se a máquina tiver eficiência menor, a potência real seria maior (multiplicando por 1/\eta).

Passo 3

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicação passo a passo):
  1. Para um gás ideal diatômico (como o nitrogênio) com razão de calores \gamma constante, a relação isentrópica entre temperaturas e pressões é
T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui \gamma é a razão entre calor específico a pressão constante e a volume constante: \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}.
  1. Para um gás ideal com c_p aproximadamente constante, a variação de entalpia por unidade de massa é
\Delta h = h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1).
Explicando: h é entalpia específica (energia por massa que depende só da temperatura para gás ideal), e c_p é o quanto a entalpia aumenta por grau Kelvin.
  1. Para fluxo estacionário e desprezando variações cinéticas e potencial, a potência de eixo fornecida ao fluido (potência necessária pelo compressor) é
\dot{W} = \dot{m}\,\Delta h.
Explicando: é a massa por segundo multiplicada pela energia por massa necessária para elevar a entalpia.
Valores típicos para nitrogênio (valor padrão de engenharia, que vou usar):
\gamma = 1{,}4,\qquad c_p \approx 1{,}040\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 1{,}040\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}\\ (\text{mas usamos J/(kg·K)}).
Para ficar consistente em unidades do SI vou usar c_p=1{,}040\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=1{,}040\cdot10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. (Na prática muitas tabelas usam c_p\approx1{,}04\\ \mathrm{kJ/(kg.K)} para N_2 perto de 300 K.)

Passo 4

Calcular a razão de pressão (pressão final / pressão inicial):
\Pi=\frac{P_2}{P_1}=\frac{8}{1{,}013}\approx 7{,}897.

Passo 5

Calcular T_2 pela relação isentrópica:
o expoente é
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots
Logo
T_2 = T_1\,\Pi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = 320\cdot(7{,}897)^{0{,}285714}\\ .
Agora calculamos numericamente a potência do expoente:
(7{,}897)^{0{,}285714}\approx 1{,}805,
portanto
T_2 \approx 320\cdot 1{,}805 \approx 577{,}6\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular a variação de entalpia específica:
\Delta T = T_2-T_1 = 577{,}6-320 = 257{,}6\\ \mathrm{K}.
Usando c_p=1{,}040\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=1{,}040\cdot10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
\Delta h = c_p\,(T_2-T_1) = 1{,}040\cdot10^{3}\cdot 257{,}6 \\ \mathrm{J/kg}.
Calculemos:
\Delta h \approx 1{,}040\cdot10^{3}\times 257{,}6 \approx 267{,}904\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}=2{,}67904\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 7

Calcular a potência necessária multiplicando pela vazão mássica:
\dot{W}=\dot{m}\,\Delta h = 0{,}5\cdot 267{,}904\cdot10^{3}\\ \mathrm{W}.
\dot{W}\approx 133{,}952\\ \mathrm{W}\approx 134{,}0\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Comentário final didático e incentivo: então a potência estimada necessária é de aproximadamente 134\\ \mathrm{kW}. Lembre-se que esse valor assume compressão adiabática e reversível (isentrópica), c_p constante e \gamma=1{,}4. Na prática um compressor tem eficiência isentrópica menor que 1, então a potência real será maior: se a eficiência isentrópica for \eta_s, a potência real aproximada seria \dot{W}_{\text{real}}=\dot{W}/\eta_s. Por exemplo, com \eta_s=0{,}8 a potência real seria cerca de 167{,}5\\ \mathrm{kW}. Vai dar tudo certo — foco nas fórmulas e em checar as hipóteses na prova!

Resposta

134\\ \mathrm{kW}

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