Uma turbina opera adiabaticamente com vapor superaquecido sendo alimentado a \mathrm{T}_{1} e \mathrm{P}_{1}, com uma vazão mássica m. A pressão na exaustão é \mathrm{P}_{2} e a eficiência da turbina é \eta. Para um dos conjuntos de condições operacionais a seguir, determine a potência produzida pela turbina, a entalpia e a entropia do vapor na exaustão.
T_{1}=450^{\circ} \mathrm{C}, P_{1}=8000 \mathrm{kPa}, \dot{m}=80 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, P_{2}=30 \mathrm{kPa}, \eta=0,80.

Passo 1

O enunciado dá uma turbina adiabática com alimentação de vapor superaquecido e pede: a potência produzida pela turbina, a entalpia do vapor na exaustão e a entropia do vapor na exaustão, para as condições:
T_1 = 450^\circ\mathrm{C},\; P_1 = 8000\\ \mathrm{kPa},\; \dot{m}=80\\ \mathrm{kg\cdot s^{-1}},\; P_2 = 30\\ \mathrm{kPa},\; \eta = 0{,}80.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A turbina opera adiabaticamente (sem troca de calor).
  • É um escoamento estacionário com vazão mássica constante \dot{m}.
  • A eficiência especificada \eta é a eficiência isentrópica da turbina (definição padrão).
  • Precisamos encontrar \dot{W} (potência), h_2 (entalpia na saída) e s_2 (entropia na saída).

Passo 2

Conceitos e equações que vamos usar (com explicação didática):
  • Para uma turbina adiabática em regime estacionário, desprezando variações de energia cinética e potencial, a primeira lei (energia por unidade de massa) dá que a potência útil por unidade de massa é a queda de entalpia:
w = h_1 - h_{2,\text{real}}.
Multiplicando pela vazão mássica, a potência produzida é
\dot{W} = \dot{m}\,(h_1 - h_{2,\text{real}}).
Explicação curta: entalpia h representa energia por unidade de massa associada a fluxo de calor/trabalho em escoamentos; numa turbina a energia extraída é a queda de h.
  • Eficiência isentrópica da turbina: compara o trabalho real obtido com o trabalho que seria obtido numa expansão isentrópica (reversível, sem geração de entropia):
\eta = \frac{h_1 - h_{2,\text{real}}}{h_1 - h_{2,s}},
onde h_{2,s} é a entalpia no estado final se a expansão fosse isentrópica (ou seja, com s_{2,s}=s_1 e P_2 conhecido).
  • Reorganizando a equação da eficiência, obtemos h_{2,\text{real}}:
h_{2,\text{real}} = h_1 - \eta\,(h_1 - h_{2,s}).
Plano de ação prático: (i) obter h_1 e s_1 na condição inicial (P_1,T_1) em tabela de vapor superaquecido; (ii) em P_2 encontrar propriedades saturadas (h_f,s_f,h_{fg},s_{fg}); (iii) usar s_{2,s}=s_1 para achar a qualidade isentrópica x_s e então h_{2,s}; (iv) calcular h_{2,\text{real}} por eficiência; (v) a partir de h_{2,\text{real}} e P_2 determinar s_2 (se estiver na região de mistura usar a qualidade real etc.); (vi) finalmente calcular \dot{W}.

Passo 3

Peguei os dados termodinâmicos iniciais na tabela de vapor superaquecido (valores padrão de tabela). Para (P_1,T_1)=(8000\\ \mathrm{kPa},450^\circ\mathrm{C}) obtemos:
h_1 = 3282{,}8\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},\qquad s_1 = 6{,}596\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
Comentário: esses números são lidos na tabela de vapor superaquecido para a pressão e temperatura dadas. Guarde que tanto h_1 quanto s_1 vêm da tabela — não são calculados por fórmula simples.

Passo 4

Peguei as propriedades saturadas na pressão de exaustão P_2=30\\ \mathrm{kPa} na tabela de vapor saturado:
T_{\text{sat}}(P_2)=69{,}95^\circ\mathrm{C},
e (valores da tabela saturada em P_2):
h_f = 293{,}6\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},\qquad s_f = 1{,}091\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}},
h_{fg} = 2407{,}3\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},\qquad s_{fg} = 6{,}869\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
Observação: esses quatro números ( h_f,s_f,h_{fg},s_{fg}) são os valores das tabelas de água saturada à pressão 30\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Calcular o estado isentrópico de saída ( h_{2,s}), usando que s_{2,s}=s_1. Como s_1 está entre s_f e s_g na pressão P_2, o estado isentrópico é uma mistura (qualidade x_s entre 0 e 1). A qualidade isentrópica é
x_s = \frac{s_1 - s_f}{s_{fg}} = \frac{6{,}596 - 1{,}091}{6{,}869}.
Agora calculamos numericamente:
x_s = \frac{5{,}505}{6{,}869} \approx 0{,}8017.
Com isso a entalpia isentrópica de saída é
h_{2,s} = h_f + x_s\,h_{fg} = 293{,}6 + 0{,}8017\times 2407{,}3.
Calculando:
h_{2,s} \approx 293{,}6 + 1931{,}2 = 2224{,}8\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.

Passo 6

Agora usamos a definição de eficiência para obter a entalpia real de saída h_{2,\text{real}}:
h_{2,\text{real}} = h_1 - \eta\,(h_1 - h_{2,s}).
Substituindo os valores:
h_{2,\text{real}} = 3282{,}8 - 0{,}80\times(3282{,}8 - 2224{,}8).
Calcule a queda isentrópica h_1-h_{2,s}=3282{,}8-2224{,}8=1058{,}0\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
Logo
h_{2,\text{real}} = 3282{,}8 - 0{,}80\times 1058{,}0 = 3282{,}8 - 846{,}4 = 2436{,}4\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.

Passo 7

Calcule a potência produzida pela turbina:
\dot{W} = \dot{m}\,(h_1 - h_{2,\text{real}}).
Substituindo:
\dot{W} = 80\,(3282{,}8 - 2436{,}4) = 80\times 846{,}4 = 67\,712\\ \mathrm{kW}.
Em unidades mais usuais: \dot{W}=67{,}712\\ \mathrm{MW} (ou 67{,}712\\ \mathrm{kW} = 67{,}712\\ \mathrm{MW} — note que 1\\ \mathrm{MW}=1000\\ \mathrm{kW}; portanto também podemos dizer \dot{W}\approx 67{,}7\\ \mathrm{MW}).

Passo 8

Determinar a entropia real de saída s_2. Como no ponto de saída real estamos a P_2 e com entalpia h_{2,\text{real}}=2436{,}4\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}, verificamos se esse h_{2,\text{real}} corresponde a mistura ou vapor seco. Usamos a relação de qualidade real (se estiver em mistura):
x_{\text{real}} = \frac{h_{2,\text{real}} - h_f}{h_{fg}} = \frac{2436{,}4 - 293{,}6}{2407{,}3}.
Calculando:
x_{\text{real}} = \frac{2142{,}8}{2407{,}3} \approx 0{,}8901.
Como 0<x_{\text{real}}<1, o vapor de saída é uma mistura úmida com qualidade \approx 0{,}8901. A entropia correspondente é
s_2 = s_f + x_{\text{real}}\,s_{fg} = 1{,}091 + 0{,}8901\times 6{,}869.
Calculando:
s_2 \approx 1{,}091 + 6{,}113 = 7{,}204\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
Observação física: s_2 > s_1 (pois houve irreversibilidades), o que confirma coerência qualitativa (entropia aumenta em processos reais irreversíveis).

Resposta

Potência produzida: 67{,}712\\ \mathrm{kW} (aprox. 67{,}7\\ \mathrm{MW})
Entalpia na exaustão: h_2 = 2436{,}4\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}
Entropia na exaustão: s_2 = 7{,}204\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}

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