3- Obtenha uma expressão para o coeficiente de Joule-Thomson de um fluido simples,
\eta_{J T}=\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H, N}
Expresse a sua resposta em termos da temperatura, do volume molar, do calor específico a pressão constante e do coeficiente de dilatação.
Qual deve ser o sinal de \eta_{J T} para que esse sistema funcione como um fluido liquefator num processo de Joule-Thomson? Por que? O fluido de van der Waals poderia funcionar como um liquefator?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados / objetivos temos.
  • O enunciado pede a expressão do coeficiente de Joule–Thomson
    \displaystyle \eta_{J T}=\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H,N}.
  • Ele exige que a resposta seja escrita em termos da temperatura T, do volume molar v (ou volume por mol), do calor específico a pressão constante C_{p} e do coeficiente de dilatação térmica \alpha.
  • Além disso, pede: qual o sinal de \eta_{J T} para que o sistema funcione como liquefator num processo Joule–Thomson e por quê.
  • Por fim, pergunta se o fluido de van der Waals poderia funcionar como um liquefator.
Isso é tudo que o enunciado pede — a partir daqui vou derivar passo a passo a fórmula e responder as perguntas qualitativas.

Passo 2

Relembrando relações termodinâmicas básicas que vou usar (expoente didático, sem pular etapas).
  • Definição de entalpia por mol: \displaystyle h = u + p v, onde u é energia interna por mol e v é volume molar.
  • Diferencial da entalpia (fundamental): \displaystyle dh = T\,ds + v\,dp.
    Explicação: isso vem de dU = T\,dS - p\,dV e H=U+pV levando a dH = T\,dS + V\,dp. Em termos molares trocamos V\to v, S\to s.
  • Definição de calor específico a pressão constante por mol: \displaystyle C_{p}=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p}.
    Explicação: C_p mede quanto a entropia (por mol) muda com temperatura a pressão constante multiplicado por T.
  • Relação de Maxwell relevante: \displaystyle \left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.
    Explicação: vem das segundas derivadas do potencial de Gibbs; é útil para trocar derivadas cruzadas entre s,p e v,T.
Com essas três relações consigo escrever ds em função de dT e dp, o que é essencial para obter (\partial T/\partial p)_{H}.

Passo 3

Expressar ds em termos de dT e dp usando as definições acima.
  • Desenvolvo ds como diferencial total em variáveis T e p: ds = \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p} dT + \left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} dp.
  • Substituo as expressões conhecidas: \left(\dfrac{\partial s}{\partial T}\right)_{p} = \dfrac{C_{p}}{T} e \left(\dfrac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} = -\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}. Logo ds = \frac{C_{p}}{T}\,dT - \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} dp.
  • Comentário didático: essa fórmula diz que a variação de entropia por mol quando mudamos T e p é a soma de um termo devido à mudança de temperatura (proporcional a C_p) e de um termo devido à mudança de pressão (relacionado a como o volume varia com T a p constante).

Passo 4

Usar dh = T\,ds + v\,dp e a expressão de ds para relacionar dT e dp mantendo entalpia constante.
  • Substituo ds em dh: dh = T\left(\frac{C_{p}}{T}\,dT - \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} dp\right) + v\,dp.Simplificando: dh = C_{p}\,dT - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} dp + v\,dp.
  • No processo Joule–Thomson o escoamento é adiabático e entretido tal que a entalpia é constante (processo de estrangulamento sem trabalho de fronteira, sem troca de massa). Portanto dh=0. Assim: 0 = C_{p}\,dT + \bigl[v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}\bigr] dp.
  • Isolo \dfrac{dT}{dp} em condição de h constante: \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H} = \frac{T\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} - v}{C_{p}}.Esta é já a forma solicitada em termos de T, v, C_p e \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.

Passo 5

Reescrever a expressão usando o coeficiente de dilatação térmica \alpha e interpretar fisicamente.
  • Definição do coeficiente de dilatação volumétrica por mol (coeficiente de dilatação térmica): \alpha \equiv \frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.Explicação: \alpha mede a fração de mudança do volume por unidade de temperatura à pressão constante.
  • Substituindo \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} = \alpha v na expressão anterior obtemos a forma final: \boxed{\displaystyle \eta_{J T}=\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H}=\frac{v}{C_{p}}\bigl(T\alpha - 1\bigr).}Comentário: essa fórmula é conveniente porque expressa \eta_{J T} usando grandezas diretamente mensuráveis: v, T, C_p e \alpha.

Passo 6

Interpretação física do sinal de \eta_{J T} para liquefação no processo Joule–Thomson.
  • Num processo de estrangulamento usual a pressão cai: dp<0.
  • A variação de temperatura para o processo é dT = \eta_{J T}\,dp.
  • Para que a temperatura diminua (resfriamento), queremos dT<0 quando dp<0. Isso acontece quando \eta_{J T}>0, pois então \eta_{J T}\,dp é negativo.
  • Portanto, condição para que o fluido funcione como liquefator (isto é, arrefeça ao expandir adiabaticamente pelo estrangulamento) é \eta_{J T}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad T\alpha > 1.Interpretação: se a expansão faz com que o volume aumente o suficiente com a temperatura (α grande ou T grande) tal que T\alpha>1, o gás se resfria ao expandir; caso contrário, ele aquece ou não muda de temperatura.

Passo 7

Aplicações rápidas e exemplos comparativos (ajuda a fixar o conceito).
  • Gás ideal: para gás ideal \displaystyle v=\frac{RT}{p}, então \displaystyle \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}=\frac{R}{p}=\frac{v}{T}. Logo \alpha=\dfrac{1}{T} e T\alpha=1. Substituindo na fórmula: \eta_{J T}^{\text{ideal}}=\frac{v}{C_{p}}(T\alpha-1)=0.Conclusão: gás ideal tem coeficiente de Joule–Thomson nulo — não se resfria nem aquece no estrangulamento ideal (portanto não atua como liquefator).
  • Fluido de van der Waals: agora vou verificar qualitativamente se pode funcionar como liquefator. A equação de van der Waals por mol é p=\frac{R T}{v-b}-\frac{a}{v^{2}},com constantes a,b>0. Podemos obter a curva de inversão (onde \eta_{J T}=0) explicitando \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} e impondo T(\partial v/\partial T)_{p}=v. Fazendo a diferenciação implícita (passos de cálculo): \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}=\frac{R}{v-b},\qquad \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{T}=-\frac{R T}{(v-b)^{2}}+\frac{2a}{v^{3}}.Em p constante vale \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} = -\frac{\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}}{\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{T}} =\frac{\dfrac{R}{v-b}}{\dfrac{R T}{(v-b)^{2}}-\dfrac{2a}{v^{3}}}.Impondo a condição de inversão \eta_{J T}=0\Rightarrow T(\partial v/\partial T)_{p}=v e resolvendo para T encontramos (após álgebra): \boxed{\displaystyle T_{i}(v)=\frac{2a}{R b}\left(\frac{v-b}{v}\right)^{2}.}Desta expressão segue que existe uma temperatura máxima de inversão (quando v\to\infty): \boxed{\displaystyle T_{\max}=\frac{2a}{R b}.}Isso significa que, para o fluido de van der Waals, a curva de inversão existe e há regiões (temperaturas abaixo da curva de inversão) onde \eta_{J T}>0. Logo o fluido de van der Waals pode, sim, funcionar como liquefator se estiver abaixo da sua temperatura de inversão (por exemplo se a temperatura inicial for menor que T_{\max} e nas condições de pressão apropriadas).

Passo 8

Resumo qualitativo final, encorajando.
  • Fórmula prática e fácil de lembrar: \boxed{\displaystyle \eta_{J T}=\frac{v}{C_{p}}\bigl(T\alpha - 1\bigr).}
  • Para resfriamento no estrangulamento (funcionar como liquefator) é necessário \eta_{J T}>0, isto é \,T\alpha>1.
  • Gás ideal: \eta_{J T}=0 (não resfria).
  • Van der Waals: possui curva de inversão e tem \eta_{J T}>0 em certas faixas de T,p; portanto pode funcionar como liquefator. A temperatura máxima de inversão do modelo van der Waals vale \,T_{\max}=\dfrac{2a}{Rb}.
Força aí — com essa fórmula e essa interpretação dá para você, na prova, checar rápido se um gás vai resfriar no processo JT: calcula T\alpha e compara com 1.

Resposta

\displaystyle \eta_{J T}=\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H}=\frac{v}{C_{p}}\bigl(T\alpha-1\bigr).
O sistema funciona como liquefator se \eta_{J T}>0, ou seja quando T\alpha>1 (assim, ao diminuir p a T cai).
Sim, o fluido de van der Waals pode funcionar como liquefator: existe uma curva de inversão dada por \displaystyle T_{i}(v)=\frac{2a}{Rb}\left(\frac{v-b}{v}\right)^{2} e \displaystyle T_{\max}=\frac{2a}{Rb}; para T abaixo da curva de inversão tem-se \eta_{J T}>0.

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