3- Obtenha uma expressão para o coeficiente de Joule-Thomson de um fluido simples,
Expresse a sua resposta em termos da temperatura, do volume molar, do calor específico a pressão constante e do coeficiente de dilatação.
Qual deve ser o sinal de
para que esse sistema funcione como um fluido liquefator num processo de Joule-Thomson? Por que? O fluido de van der Waals poderia funcionar como um liquefator?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados / objetivos temos.
- O enunciado pede a expressão do coeficiente de Joule–Thomson
. - Ele exige que a resposta seja escrita em termos da temperatura
, do volume molar (ou volume por mol), do calor específico a pressão constante e do coeficiente de dilatação térmica . - Além disso, pede: qual o sinal de
para que o sistema funcione como liquefator num processo Joule–Thomson e por quê. - Por fim, pergunta se o fluido de van der Waals poderia funcionar como um liquefator.
Isso é tudo que o enunciado pede — a partir daqui vou derivar passo a passo a fórmula e responder as perguntas qualitativas.
Passo 2
Relembrando relações termodinâmicas básicas que vou usar (expoente didático, sem pular etapas).
- Definição de entalpia por mol:
, onde é energia interna por mol e é volume molar. - Diferencial da entalpia (fundamental):
.
Explicação: isso vem dee levando a . Em termos molares trocamos , . - Definição de calor específico a pressão constante por mol:
.
Explicação:mede quanto a entropia (por mol) muda com temperatura a pressão constante multiplicado por . - Relação de Maxwell relevante:
.
Explicação: vem das segundas derivadas do potencial de Gibbs; é útil para trocar derivadas cruzadas entree .
Com essas três relações consigo escrever
em função de
e
, o que é essencial para obter
.
Passo 3
Expressar
em termos de
e
usando as definições acima.
- Desenvolvo
como diferencial total em variáveis e : - Substituo as expressões conhecidas:
e . Logo - Comentário didático: essa fórmula diz que a variação de entropia por mol quando mudamos
e é a soma de um termo devido à mudança de temperatura (proporcional a ) e de um termo devido à mudança de pressão (relacionado a como o volume varia com a constante).
Passo 4
Usar
e a expressão de
para relacionar
e
mantendo entalpia constante.
- Substituo
em : Simplificando: - No processo Joule–Thomson o escoamento é adiabático e entretido tal que a entalpia é constante (processo de estrangulamento sem trabalho de fronteira, sem troca de massa). Portanto
. Assim: - Isolo
em condição de constante: Esta é já a forma solicitada em termos de , , e .
Passo 5
Reescrever a expressão usando o coeficiente de dilatação térmica
e interpretar fisicamente.
- Definição do coeficiente de dilatação volumétrica por mol (coeficiente de dilatação térmica):
Explicação: mede a fração de mudança do volume por unidade de temperatura à pressão constante. - Substituindo
na expressão anterior obtemos a forma final: Comentário: essa fórmula é conveniente porque expressa usando grandezas diretamente mensuráveis: , , e .
Passo 6
Interpretação física do sinal de
para liquefação no processo Joule–Thomson.
- Num processo de estrangulamento usual a pressão cai:
. - A variação de temperatura para o processo é
. - Para que a temperatura diminua (resfriamento), queremos
quando . Isso acontece quando , pois então é negativo. - Portanto, condição para que o fluido funcione como liquefator (isto é, arrefeça ao expandir adiabaticamente pelo estrangulamento) é
Interpretação: se a expansão faz com que o volume aumente o suficiente com a temperatura (α grande ou T grande) tal que , o gás se resfria ao expandir; caso contrário, ele aquece ou não muda de temperatura.
Passo 7
Aplicações rápidas e exemplos comparativos (ajuda a fixar o conceito).
- Gás ideal: para gás ideal
, então . Logo e . Substituindo na fórmula: Conclusão: gás ideal tem coeficiente de Joule–Thomson nulo — não se resfria nem aquece no estrangulamento ideal (portanto não atua como liquefator). - Fluido de van der Waals: agora vou verificar qualitativamente se pode funcionar como liquefator. A equação de van der Waals por mol é
com constantes . Podemos obter a curva de inversão (onde ) explicitando e impondo . Fazendo a diferenciação implícita (passos de cálculo): Em constante vale Impondo a condição de inversão e resolvendo para encontramos (após álgebra): Desta expressão segue que existe uma temperatura máxima de inversão (quando ): Isso significa que, para o fluido de van der Waals, a curva de inversão existe e há regiões (temperaturas abaixo da curva de inversão) onde . Logo o fluido de van der Waals pode, sim, funcionar como liquefator se estiver abaixo da sua temperatura de inversão (por exemplo se a temperatura inicial for menor que e nas condições de pressão apropriadas).
Passo 8
Resumo qualitativo final, encorajando.
- Fórmula prática e fácil de lembrar:
- Para resfriamento no estrangulamento (funcionar como liquefator) é necessário
, isto é . - Gás ideal:
(não resfria). - Van der Waals: possui curva de inversão e tem
em certas faixas de ; portanto pode funcionar como liquefator. A temperatura máxima de inversão do modelo van der Waals vale .
Força aí — com essa fórmula e essa interpretação dá para você, na prova, checar rápido se um gás vai resfriar no processo JT: calcula
e compara com 1.
Resposta
O sistema funciona como liquefator se
, ou seja quando
(assim, ao diminuir
a
cai).
Sim, o fluido de van der Waals pode funcionar como liquefator: existe uma curva de inversão dada por
e
; para
abaixo da curva de inversão tem-se
.