C=A+B T
onde A=8 J / K e B=2 times 10^-2 J / K^2. Se os dois corpos estão inicialmente em temperaturas T10=400 K e T20=200 K, e se eles são colocados em contato térmico, qual é a temperatura final e qual é a variação de entropia?

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma equação que relaciona a capacidade térmica $ C $ com a temperatura $ T $:
C
Onde:
  • $ A = 8 , \mathrm{J/K} $
  • $ B = 2 \times 10^{-2} , \mathrm{J/K}^2 $
Temos dois corpos com temperaturas iniciais $ T_{10} = 400 , \mathrm{K} $ e $ T_{20} = 200 , \mathrm{K} $. Quando colocados em contato térmico, vamos encontrar a temperatura final $ T_f $ e a variação de entropia $ \Delta S $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio térmico e termodinâmica, especialmente a conservação de energia e a definição de entropia.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando dois corpos estão em contato térmico, eles trocam calor até atingirem a mesma temperatura final $ T_f $. A energia total é conservada, ou seja, o calor perdido por um corpo é igual ao calor ganho pelo outro.
A capacidade térmica $ C $ nos diz quanta energia é necessária para mudar a temperatura de um corpo. Aqui, a capacidade térmica depende da temperatura, então precisamos integrar para calcular o calor.

Passo 3

Vamos calcular o calor para cada corpo. A fórmula geral para o calor $ Q $ quando a capacidade térmica depende da temperatura é:
Q
Substituindo $ C = A + B T $:
Q = integralTi^Tf C , dT
Onde $ T_i $ é a temperatura inicial e $ T_f $ a final.

Passo 4

Como a energia é conservada, o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo corpo mais frio:
Q1 = -Q2
Expressando isso com as integrais:
A (Tf - T10) + B2 (Tf^2 - T10^2) = - [ A (Tf - T20) + B2 (Tf^2 - T20^2) ]

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
A Tf - A T10 + B2 Tf^2 - B2 T10^2 = -A Tf + A T20 - B2 Tf^2 + B2 T20^2
Vamos reunir termos semelhantes:
2A Tf + B Tf^2 = A (T10 + T20) + B2 (T10^2 + T20^2)

Passo 6

Agora, substituímos os valores dados:
  • $ A = 8 , \mathrm{J/K} $
  • $ B = 2 \times 10^{-2} , \mathrm{J/K}^2 $
  • $ T_{10} = 400 , \mathrm{K} $
  • $ T_{20} = 200 , \mathrm{K} $
Substituindo na equação:
A = 8 , J/K
Simplificando:
B = 2 times 10^-2 , J/K^2
T10 = 400 , K
T20 = 200 , K
2 times 8 times Tf + 2 times 10^-2 times Tf^2 = 8 times (400 + 200) + 2 times 10^-22 times (400^2 + 200^2)

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para resolver para $ T_f $:
Tf
Multiplicando todos os termos por 100 para eliminar os decimais:
0.02 Tf^2 + 16 Tf - 6800 = 0
Dividindo por 2:
2 Tf^2 + 1600 Tf - 680000 = 0

Passo 8

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Tf = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • $ a = 1 $
  • $ b = 800 $
  • $ c = -340000 $
Calculando o discriminante:
a = 1
Então:
b = 800
  1. Solução positiva:
c = -340000
  1. Solução negativa:
De
Como temperatura negativa não faz sentido aqui, descartamos.

Passo 9

Então, a temperatura final é aproximadamente $ T_f = 307.11 , \mathrm{K} $.
Agora, vamos calcular a variação de entropia $ \Delta S $ do sistema. A entropia é uma medida da desordem e é calculada pela integral:
Tf = 307.11 , K
Como calculamos antes, para cada corpo:
De

Passo 10

Vamos calcular $ \Delta S $ para cada corpo:
Para o primeiro corpo:
De
Calculando:
De
De
Para o segundo corpo:
De
Calculando:
De
De

Passo 11

A variação total de entropia é a soma das variações dos dois corpos:
De

Resposta

A temperatura final é aproximadamente $ 307.11 , \mathrm{K} $ e a variação total de entropia do sistema é $ \Delta S = 1.604 , \mathrm{J/K} $.

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