onde
e
. Se os dois corpos estão inicialmente em temperaturas
e
, e se eles são colocados em contato térmico, qual é a temperatura final e qual é a variação de entropia?
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma equação que relaciona a capacidade térmica $ C $ com a temperatura $ T $:
Onde:
- $ A = 8 , \mathrm{J/K} $
- $ B = 2 \times 10^{-2} , \mathrm{J/K}^2 $
Temos dois corpos com temperaturas iniciais $ T_{10} = 400 , \mathrm{K} $ e $ T_{20} = 200 , \mathrm{K} $. Quando colocados em contato térmico, vamos encontrar a temperatura final $ T_f $ e a variação de entropia $ \Delta S $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio térmico e termodinâmica, especialmente a conservação de energia e a definição de entropia.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando dois corpos estão em contato térmico, eles trocam calor até atingirem a mesma temperatura final $ T_f $. A energia total é conservada, ou seja, o calor perdido por um corpo é igual ao calor ganho pelo outro.
A capacidade térmica $ C $ nos diz quanta energia é necessária para mudar a temperatura de um corpo. Aqui, a capacidade térmica depende da temperatura, então precisamos integrar para calcular o calor.
Passo 3
Vamos calcular o calor para cada corpo. A fórmula geral para o calor $ Q $ quando a capacidade térmica depende da temperatura é:
Substituindo $ C = A + B T $:
Onde $ T_i $ é a temperatura inicial e $ T_f $ a final.
Passo 4
Como a energia é conservada, o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo corpo mais frio:
Expressando isso com as integrais:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Vamos reunir termos semelhantes:
Passo 6
Agora, substituímos os valores dados:
- $ A = 8 , \mathrm{J/K} $
- $ B = 2 \times 10^{-2} , \mathrm{J/K}^2 $
- $ T_{10} = 400 , \mathrm{K} $
- $ T_{20} = 200 , \mathrm{K} $
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para resolver para $ T_f $:
Multiplicando todos os termos por 100 para eliminar os decimais:
Dividindo por 2:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Onde:
- $ a = 1 $
- $ b = 800 $
- $ c = -340000 $
Calculando o discriminante:
Então:
- Solução positiva:
- Solução negativa:
Como temperatura negativa não faz sentido aqui, descartamos.
Passo 9
Então, a temperatura final é aproximadamente $ T_f = 307.11 , \mathrm{K} $.
Agora, vamos calcular a variação de entropia $ \Delta S $ do sistema. A entropia é uma medida da desordem e é calculada pela integral:
Como calculamos antes, para cada corpo:
Passo 10
Vamos calcular $ \Delta S $ para cada corpo:
Para o primeiro corpo:
Calculando:
Para o segundo corpo:
Calculando:
Passo 11
A variação total de entropia é a soma das variações dos dois corpos:
Resposta
A temperatura final é aproximadamente $ 307.11 , \mathrm{K} $ e a variação total de entropia do sistema é $ \Delta S = 1.604 , \mathrm{J/K} $.