(a) Desenvolva uma expressão relacionando
e
em um tempo qualquer.
(b) Determine uma expressão para o trabalho obtido como uma função de
e das temperaturas iniciais
e
.
© Qual é o máximo trabalho que pode ser obtido? Este valor corresponde ao tempo infinito, quando os reservatórios estão na mesma temperatura.
Na resolução deste problema, use a forma diferencial da equação de Carnot,
e um balanço diferencial de energia para a máquina,
Aqui,
e
referem-se aos reservatórios.
(b) Determine uma expressão para o trabalho obtido como uma função de
© Qual é o máximo trabalho que pode ser obtido? Este valor corresponde ao tempo infinito, quando os reservatórios estão na mesma temperatura.
Na resolução deste problema, use a forma diferencial da equação de Carnot,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de termodinâmica que envolve a equação diferencial de Carnot e um balanço de energia para uma máquina térmica. Precisamos desenvolver relações entre as temperaturas dos reservatórios, calcular o trabalho obtido e determinar o trabalho máximo possível. Para resolver, vamos usar conceitos de calor, trabalho e as leis da termodinâmica, além de manipular equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos desenvolver uma expressão que relacione as temperaturas
e
em um tempo qualquer. A equação diferencial de Carnot nos dá:
Isso nos mostra como as quantidades de calor trocadas entre os reservatórios estão relacionadas às suas temperaturas. Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados, considerando que as capacidades térmicas são constantes (
):
Desse modo, relacionamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar uma expressão para o trabalho
obtido em função de
e das temperaturas iniciais
e
. Sabemos que o balanço de energia é:
Integrando ambos os lados:
Usando a relação que encontramos no Passo 2, substituímos e expressamos o trabalho em termos das capacidades térmicas e das variações de temperatura.
Passo 4
Por fim, vamos determinar o máximo trabalho que pode ser obtido. Esse máximo ocorre quando o processo acontece em tempo infinito, o que significa que os reservatórios alcançam a mesma temperatura final (
). Nesse caso, a diferença de temperatura tende a zero, otimizando a eficiência do trabalho realizado.
Resposta
O máximo trabalho obtido é dado por:
Esse valor corresponde ao caso em que os reservatórios chegam à mesma temperatura final após tempo infinito.