(a) Desenvolva uma expressão relacionando TF e TQ em um tempo qualquer.
(b) Determine uma expressão para o trabalho obtido como uma função de CQ^t, CF^t, TQ e das temperaturas iniciais TQ0 e TF0.
© Qual é o máximo trabalho que pode ser obtido? Este valor corresponde ao tempo infinito, quando os reservatórios estão na mesma temperatura.
Na resolução deste problema, use a forma diferencial da equação de Carnot,
d QQd QF=-TQTF
e um balanço diferencial de energia para a máquina,
d W-d QF-d QQ=0
Aqui, QF e QQ referem-se aos reservatórios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de termodinâmica que envolve a equação diferencial de Carnot e um balanço de energia para uma máquina térmica. Precisamos desenvolver relações entre as temperaturas dos reservatórios, calcular o trabalho obtido e determinar o trabalho máximo possível. Para resolver, vamos usar conceitos de calor, trabalho e as leis da termodinâmica, além de manipular equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos desenvolver uma expressão que relacione as temperaturas TF e TQ em um tempo qualquer. A equação diferencial de Carnot nos dá:
d QQd QF = -TQTF
Isso nos mostra como as quantidades de calor trocadas entre os reservatórios estão relacionadas às suas temperaturas. Vamos separar as variáveis para integrar:
TF , dQQ + TQ , dQF = 0
Integrando ambos os lados, considerando que as capacidades térmicas são constantes ( CQ^t, CF^t):
CQ^t (TQ - TQ0) + CF^t (TF - TF0) = 0
Desse modo, relacionamos TF e TQ.

Passo 3

Agora, vamos determinar uma expressão para o trabalho W obtido em função de CQ^t, CF^t, TQ e das temperaturas iniciais TQ0 e TF0. Sabemos que o balanço de energia é:
d W = d QF + d QQ
Integrando ambos os lados:
W = De
Usando a relação que encontramos no Passo 2, substituímos e expressamos o trabalho em termos das capacidades térmicas e das variações de temperatura.

Passo 4

Por fim, vamos determinar o máximo trabalho que pode ser obtido. Esse máximo ocorre quando o processo acontece em tempo infinito, o que significa que os reservatórios alcançam a mesma temperatura final ( TQ = TF). Nesse caso, a diferença de temperatura tende a zero, otimizando a eficiência do trabalho realizado.

Resposta

O máximo trabalho obtido é dado por:
Wmáx = CQ^t TQ0 ln(TQ0TF0) + CF^t TF0 ln(TF0TQ0) á
Esse valor corresponde ao caso em que os reservatórios chegam à mesma temperatura final após tempo infinito.

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