2.8. Oscilador amortecido II: Um oscilador harmônico amortecido é formado por um bloco de 1 kg e uma mola com constante elástica igual a 100 N / m. Inicialmente, ele oscila com uma amplitude de 15 cm , mas devido a força de amortecimento ( F=-b v ) a amplitude é reduzida para 2 / 3 do valor inicial, após 2 oscilações completas. Encontre o valor de b e a energia que foi perdida durante essas oscilações.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico amortecido com massa m=1,kg e constante elástica k=100,N/m. A amplitude inicial é A0=0,15,m e, após duas oscilações completas, ela cai para tfrac23A0. Vamos usar a teoria do amortecimento leve, em que a amplitude decai exponencialmente:
A(t)=A0,e^-beta t,
com beta=b/(2m). Precisamos também do período aproximado Tapprox2piraizm/k.

Passo 2

Calculamos o período não amortecido como
T = 2piraizmk =2piraiz1100 =2picdot0,1 approx0,628 s
Duas oscilações correspondem ao tempo t=2Tapprox1,257 s.

Passo 3

Pela condição de decaimento,
A(2T)A0 =e^-beta,(2T) =23
Tomando logaritmo,
-beta,(2T)=ln!l(tfrac23r) Longrightarrow beta=-12Tln!l(tfrac23r)
Numericamente,
beta =-12cdot1,257ln(0,6667) approx0,40552,514 approx0,1614 s^-1

Passo 4

Como beta=b/(2m), temos
b = 2m,beta = 2cdot1cdot0,1614 approx0,3228 kg/s

Passo 5

A energia de um oscilador harmônico é
E=tfrac12,k,A^2
Inicialmente,
E0=tfrac12cdot100cdot(0,15)^2 =50cdot0,0225 =1,125 J
Após duas oscilações a amplitude vale A2=tfrac23A0=0,10,m, então
E2=tfrac12cdot100cdot(0,10)^2 =50cdot0,01 =0,50 J
A energia dissipada é
De<a E = E0 - E2 =1,125 - 0,50 =0,625 J

Resposta

bapprox0,323 kg/s, energia perdida 0,625 J

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