2.3. Molécula diatômica: Quando dois átomos, que formam uma molécula diatômica, são deslocados das suas posições de equilíbrio, eles começam a oscilar. A experiência mostra que a energia potencial de ligação entre os dois
átomos pode ser descrita pela função
U=U0[(R0r)^12-2(R0r)^6]
onde U0 é uma constante com dimensão de energia, R0 é a distância de equilíbrio entre os centros dos dois átomos e r é a distância entre os centros dos átomos. Encontre a força de interação entre os dois átomos. Considerando agora uma nova variável x=r-R0 que descreve o deslocamento a partir do equilíbrio, mostre que para x ll R0 as oscilações moleculares constituem um movimento harmônico simples.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia potencial de interação de uma molécula diatômica
U(r)=U0l[l(R0rr)^12-2l(R0rr)^6r]
e pede:
– A força de interação F(r).
– Mostra que, para x=r-R0 com lvert xrvertll R0, as oscilações são um movimento harmônico simples (MHS).
Conteúdo: mecânica clássica, relação entre potencial e força e aproximação de pequenas oscilações via série de Taylor.

Passo 2

A força de interação obtém-se por
F(r) = -dUdr

Passo 3

Calculando a derivada, temos
dUdr =U0l[-12,R0^12r^13+12,R0^6r^7r]
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F(r)=-dUdr =-12,U0l(R0^6r^7-R0^12r^13r) =-12,U0,R0^6r^7l[1-l(R0rr)^6r]

Passo 4

No ponto de equilíbrio r=R0 tem-se F(R0)=0. Para estudar pequenas oscilações, introduzimos
x=r-R0, |x|ll R0,
e expandimos U(r) em série de Taylor até a segunda ordem em x:
U(r)approx U(R0)+12U''(R0),x^2,
pois U'(R0)=0.

Passo 5

Calculemos
U''(r) =U0l[156,R0^12r^14-84,R0^6r^8r],
então em r=R0
U''(R0) =U0l(156,R0^-2-84,R0^-2r) =72,U0R0^2
Assim, para lvert xrvertll R0,
F=-dUdrapprox -U''(R0),x =-l(72,U0R0^2r)x,
que é a forma de força de restauração de um MHS com constante elástica k=72,U0/R0^2.

Resposta

Força genérica:
F(r)=-12,U0,R0^6r^7l[1-l(R0rr)^6r]
Para x=r-R0 e lvert xrvertll R0:
Fapprox -l(72,U0R0^2r)x,
logo as oscilações são harmônicas simples.

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