Uma panela convencional contém 2,0 \mathrm{~L} de água a 20,0^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 bar. Ela é posicionada acima de um queimador de fogão. Uma vez que o queimador é acionado, a água é gradualmente aquecida a uma taxa de 1,0 \mathrm{~kW}, enquanto a pressão é mantida constante. Após algum tempo, inicia-se a ebulição da água que continuará até que toda a massa seja evaporada. Determinar:
a) O tempo necessário para iniciar a evaporação (em segundos) (1,0 PTO).
b) O tempo necessário para evaporar completamente a água, após o início da ebulição (em segundos) (1,0 PTO).
Nota: 1,0 kW = 1,0 kJ/s

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Volume de água: 2{,}0\\ \mathrm{L}.
    • Temperatura inicial: 20{,}0^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão: 1{,}0\\ \mathrm{bar} (mantida constante).
    • Potência do queimador: 1{,}0\\ \mathrm{kW} (ou seja, 1{,}0\\ \mathrm{kJ/s}).
    • A água é aquecida até iniciar a ebulição e, depois que começa a ebulição, todo o líquido é vaporizado mantendo a mesma potência.
  • O que o enunciado pede:
    (a) O tempo necessário para iniciar a evaporação (ou seja, para a água aquecer de 20{,}0^\circ\mathrm{C} até o ponto de ebulição à pressão dada). Responder em segundos.
    (b) O tempo necessário para evaporar completamente a água, contado a partir do instante em que a ebulição começa (ou seja, o tempo requerido para fornecer a energia latente de vaporização para toda a massa). Responder em segundos.

Passo 2

Converter o volume em massa e justificar isso (dados usados).
  • Densidade da água líquida próxima a 20^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 1{,}00\\ \mathrm{kg/L}. Assim a massa m da água é:
m = \text{volume}\times\text{densidade} = 2{,}0\\ \mathrm{L}\times 1{,}00\\ \mathrm{kg/L} = 2{,}0\\ \mathrm{kg}.
Explicação pedagógica rápida: em problemas térmicos com água é comum converter volume em massa porque as fórmulas de calor usam massa (energia = massa × capacidade térmica × variação de temperatura).

Passo 3

Identificar o ponto de ebulição e a variação de temperatura a ser vencida antes de começar a ebulição.
  • À pressão de 1{,}0\\ \mathrm{bar} (pressão atmosférica ~1 atm), o ponto de ebulição normal da água é 100{,}0^\circ\mathrm{C}. Portanto a água precisa ser aquecida de 20{,}0^\circ\mathrm{C} até 100{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = 100{,}0^\circ\mathrm{C} - 20{,}0^\circ\mathrm{C} = 80{,}0\\ \mathrm{K}.
Obs.: diferença de temperatura em Celsius é numericamente igual em Kelvin, por isso escrevemos 80{,}0\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a energia necessária para aquecer a água até 100{,}0^\circ\mathrm{C} (antes da ebulição) — explicando o conceito de capacidade térmica.
  • Conceito: a energia necessária para aumentar a temperatura de uma massa m de uma substância é dada por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde c é a capacidade térmica massiva (ou calor específico) da substância, com unidade típica \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} ou \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Valor prático para água líquida (usado aqui): c = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. (Esse é um valor padrão: 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.)
  • Calcular a energia Q_1 necessária:
Q_1 = m\,c\,\Delta T = 2{,}0\\ \mathrm{kg}\times 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\times 80{,}0\\ \mathrm{K}.
Fazendo as contas passo a passo:
4{,}18\times 80{,}0 = 334{,}4\\ \mathrm{kJ/kg},
Q_1 = 2{,}0\times 334{,}4 = 668{,}8\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: são 668{,}8\\ \mathrm{kJ} que o queimador precisa fornecer para elevar toda a massa de 20{,}0^\circ\mathrm{C} até 100{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o tempo necessário para fornecer Q_1 com a potência dada.
  • Potência fornecida: P = 1{,}0\\ \mathrm{kW} = 1{,}0\\ \mathrm{kJ/s} (dado).
  • Tempo necessário t_1 para o aquecimento até ebulição:
t_1 = \frac{Q_1}{P} = \frac{668{,}8\\ \mathrm{kJ}}{1{,}0\\ \mathrm{kJ/s}} = 668{,}8\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma razoável (dados com 3 algarismos): t_1 \approx 669\\ \mathrm{s}.
Breve comentário didático: dividir energia pela potência dá tempo porque potência é taxa de energia por tempo.

Passo 6

Calcular a energia necessária para vaporizar toda a massa de água depois que a ebulição começou — explicar calor latente.
  • Conceito: durante a vaporização à temperatura constante, a energia necessária por unidade de massa é chamada de calor latente de vaporização L. A energia total para vaporizar massa m é
Q_2 = m\,L.
  • Valor prático para água à 100{,}0^\circ\mathrm{C} (1 bar): L \approx 2257\\ \mathrm{kJ/kg} (valor tabelado, às vezes aproximado por 2260\\ \mathrm{kJ/kg}). Vou usar 2257\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calcular Q_2:
Q_2 = 2{,}0\\ \mathrm{kg}\times 2257\\ \mathrm{kJ/kg} = 4514\\ \mathrm{kJ}.
Explicação: essa energia não aumenta a temperatura (a água permanece em 100^\circ\mathrm{C} enquanto vaporiza); ela serve para romper ligações e transformar líquido em vapor.

Passo 7

Calcular o tempo necessário para fornecer Q_2 com a mesma potência.
  • Tempo t_2 para vaporizar toda a água (após ebulição iniciada):
t_2 = \frac{Q_2}{P} = \frac{4514\\ \mathrm{kJ}}{1{,}0\\ \mathrm{kJ/s}} = 4514\\ \mathrm{s}.
Arredondamento: t_2 \approx 4{,}51\times 10^{3}\\ \mathrm{s} ou 4514\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Observações finais e verificação rápida de ordens de grandeza.
  • O tempo para aquecer até o ponto de ebulição ( \sim 669\\ \mathrm{s}, cerca de 11{,}15 minutos) é muito menor que o tempo para vaporizar toda a água ( \sim 4514\\ \mathrm{s}, cerca de 75{,}2 minutos), o que é razoável porque a energia latente por kg é muito maior que a energia necessária para elevar a temperatura por alguns kelvin.

Resposta

(a) t_1 \approx 669\\ \mathrm{s}
(b) t_2 \approx 4514\\ \mathrm{s}

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