1. Quando se fornecem 178 J de calor a 1,9 \mathrm{~mol} de um gás, a temperatura da amostra se eleva de 1,78 \mathrm{~K}. Calcule as capacidades caloríficas molares do gás a volume constante e a pressão constante.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (todos peguei do próprio enunciado):
  • Calor fornecido: q = 178\\ \mathrm{J}.
  • Quantidade de substância: n = 1,9\\ \mathrm{mol}.
  • A elevação de temperatura: \Delta T = 1,78\\ \mathrm{K}.
O que se pede:
  • Calcular a capacidade calorífica molar a volume constante C_V.
  • Calcular a capacidade calorífica molar a pressão constante C_P.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é capacidade calorífica molar. A capacidade calorífica molar C (em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}) é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 mol da substância em 1 K. Para uma amostra de n mols que recebe calor q e tem variação de temperatura \Delta T vale, em geral,
q = n\,C\,\Delta T.
Aqui C é a capacidade molar correspondente ao processo que ocorre (por exemplo C_V se o processo for a volume constante, ou C_P se for a pressão constante). A unidade de q é joule ( \mathrm{J}), de n é mol, e de \Delta T é kelvin ( \mathrm{K}), então a unidade de C fica \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Observação física importante (explicação didática): em um processo a volume constante não há trabalho de expansão PdV, então todo o calor fornecido muda a energia interna e obedece diretamente a q=n C_V \Delta T. Em um processo a pressão constante, o sistema realiza trabalho ao expandir e o calor recebido é q = n C_P \Delta T. Para um gás ideal, existe a relação simples
C_P - C_V = R,
onde R é a constante universal dos gases. Vou usar essa relação para obter C_P depois de encontrar C_V.

Passo 3

Assumimos que os 178\\ \mathrm{J} foram fornecidos e mediram o aumento de temperatura \Delta T da amostra; para calcular C_V usamos diretamente
C_V = \frac{q}{n\,\Delta T}.
Agora substituindo os números (todos em TeX):
n\,\Delta T = 1,9\times 1,78 = 3,382.
Portanto
C_V = \frac{178}{3,382}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Fazendo a divisão:
C_V \approx 52,63\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
(Arredondei a 2 casas decimais para ficar coerente com os dados fornecidos.)

Passo 4

Agora usamos a relação entre C_P e C_V para um gás ideal. A razão é rápida de entender: a entalpia H de um gás ideal varia como \Delta H = n C_P \Delta T, e como H=U+PV e para gás ideal PV = nRT, obtém-se algebraicamente
C_P - C_V = R,
onde \;R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} (valor da constante dos gases).

Passo 5

Calculamos C_P somando R a C_V:
C_P = C_V + R = 52,63 + 8,314 = 60,944\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Arredondando de forma consistente:
C_P \approx 60,94\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 6

Resumo rápido de verificação: C_V e C_P têm as unidades corretas, e a diferença C_P-C_V é numericamente igual a R (aproximadamente 8,31\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}), como esperado para um gás ideal — isso confirma que os cálculos estão coerentes. Vai dar tudo certo na prova; respira, faz devagar e segue esses passos na hora.

Resposta

C_V \approx 52,63\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}
C_P \approx 60,94\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

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