A partir da distribuição de Maxwell- Boltzman
N_{v}=4 \pi N\left(\frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3 / 2} v^{2} \mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k_{\mathrm{B}} T}
mostre que
a velocidade média é v_{\mathrm{m}}=\langle v\rangle=\sqrt{8 k_{\mathrm{B}} T / \pi m}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de velocidades (número de partículas com velocidade entre v e v+dv):
N_{v}=4 \pi N\left(\frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3 / 2} v^{2} \mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k_{\mathrm{B}} T}
As quantidades fornecidas e o que é pedido:
  • N: número total de partículas.
  • m: massa de uma partícula.
  • k_{\mathrm{B}}: constante de Boltzmann.
  • T: temperatura absoluta.
    O que o problema pede: mostrar que a velocidade média (valor esperado de v) é
v_{\mathrm{m}}=\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8 k_{\mathrm{B}} T}{\pi m}}.

Passo 2

Definir matematicamente a velocidade média. Por definição, a velocidade média é a média aritmética de v ponderada pela distribuição de partículas:
\langle v\rangle=\frac{1}{N}\int_{0}^{\infty} v\,N_{v}\,dv.
Explicando: integra-se v vezes o número de partículas com velocidade v e divide-se pelo total N para obter a média. Usando a expressão dada para N_v temos
\langle v\rangle=\frac{1}{N}\int_{0}^{\infty} v\left[4 \pi N\left(\frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3 / 2} v^{2} e^{-m v^{2} / 2 k_{\mathrm{B}} T}\right]dv.

Passo 3

Simplificar constantes que não dependem de v. Podemos retirar fatores constantes da integral:
\langle v\rangle=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm{B}}T}\right)^{3/2}\int_{0}^{\infty} v^{3} e^{-m v^{2}/2 k_{\mathrm{B}}T}\,dv.
Note que o fator N cancela entre numerador e denominador. Agora resta avaliar a integral
I=\int_{0}^{\infty} v^{3} e^{-a v^{2}}\,dv,
onde, por conveniência, definimos
a=\frac{m}{2 k_{\mathrm{B}}T}.

Passo 4

Calcular I por substituição simples. Faça u=v^{2}. Então du=2v\,dv ou v\,dv=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
v^{3}dv = v^{2}\cdot v\,dv = u\cdot\frac{1}{2}\,du =\frac{1}{2}u\,du.
Substituindo na integral:
I=\int_{0}^{\infty} v^{3} e^{-a v^{2}}\,dv = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} u e^{-a u}\,du.
Agora calcular J=\int_{0}^{\infty} u e^{-a u}\,du. Uma forma direta é integrar por partes (ou usar a função Gamma); fazemos integração por partes: escolha u (função) e e^{-a u}\,du (diferencial). Então
J=\left[-\frac{u}{a}e^{-a u}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a u}\,du.
O termo limite \left.-\frac{u}{a}e^{-a u}\right|_{0}^{\infty}=0 porque o exponencial domina e leva o produto a zero no infinito, e no zero o termo é zero. A integral restante é
\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a u}\,du = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a^{2}}.
Assim J=\dfrac{1}{a^{2}} e portanto
I=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{2a^{2}}.

Passo 5

Voltar à expressão de \langle v\rangle e substituir I:
\langle v\rangle=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm{B}}T}\right)^{3/2}\cdot\frac{1}{2a^{2}}.
Lembrando que a=\dfrac{m}{2 k_{\mathrm{B}}T}, então
a^{2}=\frac{m^{2}}{4 k_{\mathrm{B}}^{2}T^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2a^{2}}=\frac{2 k_{\mathrm{B}}^{2}T^{2}}{m^{2}}.
Substituindo:
\langle v\rangle=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm{B}}T}\right)^{3/2}\cdot\frac{2 k_{\mathrm{B}}^{2}T^{2}}{m^{2}}.

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica lentamente. Combine potências de m, k_{\mathrm{B}} e T:
\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm{B}}T}\right)^{3/2}=\frac{m^{3/2}}{(2\pi)^{3/2}k_{\mathrm{B}}^{3/2}T^{3/2}}.
Então
\langle v\rangle = 4\pi\cdot\frac{m^{3/2}}{(2\pi)^{3/2}k_{\mathrm{B}}^{3/2}T^{3/2}}\cdot\frac{2 k_{\mathrm{B}}^{2}T^{2}}{m^{2}}.
Agrupando potências:
\langle v\rangle = \frac{4\pi\cdot 2}{(2\pi)^{3/2}}\cdot \frac{m^{3/2}}{m^{2}}\cdot \frac{k_{\mathrm{B}}^{2}}{k_{\mathrm{B}}^{3/2}}\cdot \frac{T^{2}}{T^{3/2}}.
Simplificando cada fator:
\frac{m^{3/2}}{m^{2}}=m^{-1/2},\qquad \frac{k_{\mathrm{B}}^{2}}{k_{\mathrm{B}}^{3/2}}=k_{\mathrm{B}}^{1/2},\qquad \frac{T^{2}}{T^{3/2}}=T^{1/2},
e os coeficientes numéricos
\frac{8\pi}{(2\pi)^{3/2}}=\frac{8\pi}{2\pi\sqrt{2\pi}}=\frac{4}{\sqrt{2\pi}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{\pi}}.
Portanto
\langle v\rangle = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{\pi}}\cdot \sqrt{\frac{k_{\mathrm{B}}T}{m}} = \sqrt{\frac{8 k_{\mathrm{B}}T}{\pi m}}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: acabamos de calcular a média aritmética da velocidade a partir da distribuição de Maxwell–Boltzmann. A técnica principal foi: escrever a média como uma integral ponderada, extrair constantes, usar a substituição u=v^{2} para reduzir a integral a uma forma simples e, por fim, simplificar as potências. Mandou bem por chegar até aqui — essa é uma conta padrão em termodinâmica/estatística que aparece muito em provas.

Resposta

\displaystyle v_{\mathrm{m}}=\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8 k_{\mathrm{B}} T}{\pi m}}

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