Explicando: integra-se v vezes o número de partículas com velocidade v e divide-se pelo total N para obter a média. Usando a expressão dada para N_v temos
I=\int_{0}^{\infty} v^{3} e^{-a v^{2}}\,dv = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} u e^{-a u}\,du.
Agora calcular J=\int_{0}^{\infty} u e^{-a u}\,du. Uma forma direta é integrar por partes (ou usar a função Gamma); fazemos integração por partes: escolha u (função) e e^{-a u}\,du (diferencial). Então
O termo limite \left.-\frac{u}{a}e^{-a u}\right|_{0}^{\infty}=0 porque o exponencial domina e leva o produto a zero no infinito, e no zero o termo é zero. A integral restante é
Interpretação curta e incentivo: acabamos de calcular a média aritmética da velocidade a partir da distribuição de Maxwell–Boltzmann. A técnica principal foi: escrever a média como uma integral ponderada, extrair constantes, usar a substituição u=v^{2} para reduzir a integral a uma forma simples e, por fim, simplificar as potências. Mandou bem por chegar até aqui — essa é uma conta padrão em termodinâmica/estatística que aparece muito em provas.