Em um reservatório são armazenados 1 mol de gás hélio e 1 mol de gás oxigênio em equilíbrio térmico. Por meio de um orifício de dimensões muito menores que o comprimento livre médio das espécies gasosas, inicia-se um vazamento de gás para o exterior. Sobre essa situação são feitas as seguintes afirmações:
I. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, energia cinética menor em comparação à das moléculas de oxigênio.
II. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, velocidade de translação maior em comparação à das moléculas de oxigênio.
III. A porção do gás que vaza e a que permanece no interior do reservatório têm a mesma fração molar de hélio.
Assinale a opção correta.
a) Apenas a afirmação I é falsa.
b) Apenas a afirmação II é falsa.
c) Apenas a afirmação III é falsa.
d) Há mais de uma afirmação falsa.
e) Todas as afirmações são verdadeiras

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • No reservatório há 1 mol de gás hélio e 1 mol de gás oxigênio, em equilíbrio térmico (mesma temperatura).
    • Abre-se um orifício muito pequeno (menor que o comprimento livre médio) e ocorre vazamento para o exterior (efusão).
  • O enunciado apresenta três afirmações (preciso julgar verdadeiro/falso):
    I. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, energia cinética menor em comparação à das moléculas de oxigênio.
    II. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, velocidade de translação maior em comparação à das moléculas de oxigênio.
    III. A porção do gás que vaza e a que permanece no interior do reservatório têm a mesma fração molar de hélio.
  • O que é pedido: identificar quais afirmações são verdadeiras/false e escolher a alternativa correta entre:
    a) Apenas a afirmação I é falsa.
    b) Apenas a afirmação II é falsa.
    c) Apenas a afirmação III é falsa.
    d) Há mais de uma afirmação falsa.
    e) Todas as afirmações são verdadeiras.
Observação importante: a frase “energia cinética média” pode ser ambígua (pode referir-se só à energia cinética de translação ou à energia cinética total incluindo rotações). Vou explicitar e trabalhar com a interpretação padrão em teoria cinética de gases: quando comparamos energias cinéticas entre espécies em equilíbrio térmico, o que comumente se usa é a energia cinética de translação média por partícula — e é disso que partirei. Se alguém considerasse “energia cinética total” incluindo rotações, o argumento muda (vou comentar essa ambiguidade quando pertinente).

Passo 2

Conceito essencial 1 — equipartição e energia cinética de translação:
  • Em equilíbrio térmico, pela teoria cinética e pelo teorema da equipartição de energia, cada grau de liberdade quadrático tem energia média \tfrac{1}{2}k_B T, onde:
    • k_B é a constante de Boltzmann,
    • T é a temperatura absoluta.
  • Para movimento de translação em três dimensões cada partícula tem 3 graus de liberdade transacionais; portanto a energia cinética de translação média por partícula é
\langle E_{k,\text{tr}}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T.
  • Nota sobre símbolos: \langle E_{k,\text{tr}}\rangle é a energia cinética média de translação por partícula; não depende da massa da partícula, depende só de T.

Passo 3

Aplicando o conceito ao item I:
  • O enunciado compara a “energia cinética média” de átomos de hélio com a das moléculas de oxigênio. Usando a interpretação da teoria cinética (energia cinética de translação média), ambas as espécies estão à mesma temperatura T. Logo cada partícula (átomo de He ou molécula de O _2) tem
\langle E_{k,\text{tr}}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T,
ou seja, a mesma energia cinética de translação média.
  • Conclusão sobre I (na interpretação translacional): a afirmação I é falsa — os átomos de hélio NÃO têm energia cinética média menor; têm a mesma energia cinética média de translação que as moléculas de oxigênio.
Observação sobre ambiguidade (complemento didático): se alguém interpretasse “energia cinética média” como incluindo modos rotacionais (para \mathrm{O_2} há modos rotacionais clássicos adicionais), então a molécula de oxigênio teria energia média total maior do que um átomo monoatômico de He. Por isso é crucial notar que, em problemas de teoria cinética clássica de gases, a comparação direta que interessa normalmente é a energia cinética de translação, e é essa que foi usada acima.

Passo 4

Conceito essencial 2 — velocidades médias em função da massa:
  • Relação entre temperatura e velocidade: a velocidade quadrática média (root-mean-square) de partículas de massa m em temperatura T é
v_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{\dfrac{3 k_B T}{m}}.
  • Aqui:
    • m é a massa da partícula (massa por átomo ou por molécula, em kg),
    • k_B e T já definidos.
  • Note que, para mesma T, quanto menor m maior v_{\text{rms}}. Isso deriva diretamente da igualdade de energia cinética média de translação:
\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T \quad\Rightarrow\quad \langle v^2\rangle = \dfrac{3k_B T}{m}.

Passo 5

Aplicando ao item II (velocidades relativas He vs O _2):
  • Massa aproximada por partícula (razões relativas) — usar unidades atômicas de massa para comparação:
    • massa do átomo de hélio m_{\text{He}}\approx 4\,u,
    • massa da molécula de oxigênio m_{\text{O}_2}\approx 32\,u (pois \mathrm{O_2} tem massa molar \approx 32 g/mol).
  • Razão das velocidades rms:
\frac{v_{\text{rms,He}}}{v_{\text{rms,O}_2}} = \sqrt{\frac{m_{\text{O}_2}}{m_{\text{He}}}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83.
  • Portanto os átomos de hélio têm velocidade de translação média (rms) significativamente maior que as moléculas de oxigênio.
  • Conclusão sobre II: a afirmação II é verdadeira.

Passo 6

Conceito essencial 3 — efusão e dependência com a velocidade:
  • Para um orifício muito pequeno (menor que o comprimento livre médio), o processo é efusão: as partículas que saem são aquelas que, por acaso, se dirigem ao orifício sem colidir antes.
  • A taxa (número de partículas que saem por unidade de tempo) de uma espécie i é proporcional à sua densidade numérica n_i e à sua velocidade média direcionada; usando resultados da teoria cinética, a taxa por área é
\Phi_i = \tfrac{1}{4} n_i \bar v_i,
onde \bar v_i é a velocidade média (mean speed) da espécie i. O fator \tfrac{1}{4} vem da integração das componentes de velocidade positivas; o ponto importante é a proporcionalidade
\Phi_i \propto n_i \bar v_i.
  • Para velocidade média clássica vale \bar v \propto 1/\sqrt{m} (mais precisamente \bar v = \sqrt{8k_B T/(\pi m)}), então partículas mais leves efundem mais rapidamente por unidade de densidade.

Passo 7

Aplicando ao item III (frações molares do que sai e do que fica):
  • Inicialmente 1 mol de He e 1 mol de O _2 -> mesmas densidades numéricas iniciais n_{\text{He}}=n_{\text{O}_2} (pressuponto mesmo volume).
  • A composição do fluxo que sai (por unidade de tempo) é dada pelas taxas relativas:
\text{fração de He no fluxo} = \frac{n_{\text{He}}\bar v_{\text{He}}}{n_{\text{He}}\bar v_{\text{He}} + n_{\text{O}_2}\bar v_{\text{O}_2}}.çã
Com n_{\text{He}}=n_{\text{O}_2} isso simplifica para
\frac{\bar v_{\text{He}}}{\bar v_{\text{He}}+\bar v_{\text{O}_2}}.
  • Como \bar v\propto 1/\sqrt{m} e m_{\text{He}} < m_{\text{O}_2}, tem-se \bar v_{\text{He}}>\bar v_{\text{O}_2}. Logo a fração de He no gás que efunde é maior que 1/2 — o gás que sai fica enriquecido em He.
  • Consequência: o reservatório perde relativamente mais He que O _2, de modo que a porção que permanece no reservatório vai ficando relativamente empobrecida em He (a fração molar de He no interior diminui com o tempo).
  • Portanto a afirmação III (“a porção que vaza e a que permanece têm a mesma fração molar de hélio”) é falsa.
Para ser concreto, calculemos rapidamente a fração inicial do fluxo (usando razões de massas):
  • Usando as massas relativas m_{\text{He}}=4, m_{\text{O}_2}=32 (unidades arbitrárias iguais):
\bar v \propto \frac{1}{\sqrt{m}} \quad\Rightarrow\quad \bar v_{\text{He}} \propto \frac{1}{2},\qquad \bar v_{\text{O}_2} \propto \frac{1}{\sqrt{32}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\approx 0{,}177.
  • Fração de He no fluxo inicial:
\frac{0{,}5}{0{,}5+0{,}177}\approx \frac{0{,}5}{0{,}677}\approx 0{,}739\\ (\approx 74\%\\ \text{He}).
Isto ilustra que o gás que vaza está bastante enriquecido em He; assim o que permanece fica com fração de He menor que a inicial 50\%.

Passo 8

Resumo das respostas a cada afirmação:
  • I: falsa (na interpretação de energia cinética de translação média — ambas as espécies têm \langle E_{k,\text{tr}}\rangle=\tfrac{3}{2}k_B T).
  • II: verdadeira (He tem velocidade média de translação maior porque sua massa é bem menor).
  • III: falsa (efusão favorece partículas mais leves, então o fluxo que sai não tem a mesma fração molar; o reservatório se empobrece em He).
Portanto há mais de uma afirmação falsa (I e III).

Resposta

d) Há mais de uma afirmação falsa.

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