Em um reservatório são armazenados 1 mol de gás hélio e 1 mol de gás oxigênio em equilíbrio térmico. Por meio de um orifício de dimensões muito menores que o comprimento livre médio das espécies gasosas, inicia-se um vazamento de gás para o exterior. Sobre essa situação são feitas as seguintes afirmações:
I. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, energia cinética menor em comparação à das moléculas de oxigênio.
II. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, velocidade de translação maior em comparação à das moléculas de oxigênio.
III. A porção do gás que vaza e a que permanece no interior do reservatório têm a mesma fração molar de hélio.
Assinale a opção correta.
a) Apenas a afirmação I é falsa.
b) Apenas a afirmação II é falsa.
c) Apenas a afirmação III é falsa.
d) Há mais de uma afirmação falsa.
e) Todas as afirmações são verdadeiras
I. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, energia cinética menor em comparação à das moléculas de oxigênio.
II. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, velocidade de translação maior em comparação à das moléculas de oxigênio.
III. A porção do gás que vaza e a que permanece no interior do reservatório têm a mesma fração molar de hélio.
a) Apenas a afirmação I é falsa.
b) Apenas a afirmação II é falsa.
c) Apenas a afirmação III é falsa.
d) Há mais de uma afirmação falsa.
e) Todas as afirmações são verdadeiras
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- No reservatório há
mol de gás hélio e mol de gás oxigênio, em equilíbrio térmico (mesma temperatura). - Abre-se um orifício muito pequeno (menor que o comprimento livre médio) e ocorre vazamento para o exterior (efusão).
- No reservatório há
-
O enunciado apresenta três afirmações (preciso julgar verdadeiro/falso):
I. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, energia cinética menor em comparação à das moléculas de oxigênio.
II. No interior do reservatório, os átomos de hélio têm, em média, velocidade de translação maior em comparação à das moléculas de oxigênio.
III. A porção do gás que vaza e a que permanece no interior do reservatório têm a mesma fração molar de hélio. -
O que é pedido: identificar quais afirmações são verdadeiras/false e escolher a alternativa correta entre:
a) Apenas a afirmação I é falsa.
b) Apenas a afirmação II é falsa.
c) Apenas a afirmação III é falsa.
d) Há mais de uma afirmação falsa.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
Observação importante: a frase “energia cinética média” pode ser ambígua (pode referir-se só à energia cinética de translação ou à energia cinética total incluindo rotações). Vou explicitar e trabalhar com a interpretação padrão em teoria cinética de gases: quando comparamos energias cinéticas entre espécies em equilíbrio térmico, o que comumente se usa é a energia cinética de translação média por partícula — e é disso que partirei. Se alguém considerasse “energia cinética total” incluindo rotações, o argumento muda (vou comentar essa ambiguidade quando pertinente).
Passo 2
Conceito essencial 1 — equipartição e energia cinética de translação:
- Em equilíbrio térmico, pela teoria cinética e pelo teorema da equipartição de energia, cada grau de liberdade quadrático tem energia média
, onde: -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura absoluta.
-
- Para movimento de translação em três dimensões cada partícula tem 3 graus de liberdade transacionais; portanto a energia cinética de translação média por partícula é
- Nota sobre símbolos:
é a energia cinética média de translação por partícula; não depende da massa da partícula, depende só de .
Passo 3
Aplicando o conceito ao item I:
- O enunciado compara a “energia cinética média” de átomos de hélio com a das moléculas de oxigênio. Usando a interpretação da teoria cinética (energia cinética de translação média), ambas as espécies estão à mesma temperatura
. Logo cada partícula (átomo de He ou molécula de O ) tem
ou seja, a mesma energia cinética de translação média.
- Conclusão sobre I (na interpretação translacional): a afirmação I é falsa — os átomos de hélio NÃO têm energia cinética média menor; têm a mesma energia cinética média de translação que as moléculas de oxigênio.
Observação sobre ambiguidade (complemento didático): se alguém interpretasse “energia cinética média” como incluindo modos rotacionais (para
há modos rotacionais clássicos adicionais), então a molécula de oxigênio teria energia média total maior do que um átomo monoatômico de He. Por isso é crucial notar que, em problemas de teoria cinética clássica de gases, a comparação direta que interessa normalmente é a energia cinética de translação, e é essa que foi usada acima.
Passo 4
Conceito essencial 2 — velocidades médias em função da massa:
- Relação entre temperatura e velocidade: a velocidade quadrática média (root-mean-square) de partículas de massa
em temperatura é
- Aqui:
-
é a massa da partícula (massa por átomo ou por molécula, em kg), -
e já definidos.
-
- Note que, para mesma
, quanto menor maior . Isso deriva diretamente da igualdade de energia cinética média de translação:
Passo 5
Aplicando ao item II (velocidades relativas He vs O
):
- Massa aproximada por partícula (razões relativas) — usar unidades atômicas de massa para comparação:
- massa do átomo de hélio
, - massa da molécula de oxigênio
(pois tem massa molar g/mol).
- massa do átomo de hélio
- Razão das velocidades rms:
- Portanto os átomos de hélio têm velocidade de translação média (rms) significativamente maior que as moléculas de oxigênio.
- Conclusão sobre II: a afirmação II é verdadeira.
Passo 6
Conceito essencial 3 — efusão e dependência com a velocidade:
- Para um orifício muito pequeno (menor que o comprimento livre médio), o processo é efusão: as partículas que saem são aquelas que, por acaso, se dirigem ao orifício sem colidir antes.
- A taxa (número de partículas que saem por unidade de tempo) de uma espécie
é proporcional à sua densidade numérica e à sua velocidade média direcionada; usando resultados da teoria cinética, a taxa por área é
onde
é a velocidade média (mean speed) da espécie
. O fator
vem da integração das componentes de velocidade positivas; o ponto importante é a proporcionalidade
- Para velocidade média clássica vale
(mais precisamente ), então partículas mais leves efundem mais rapidamente por unidade de densidade.
Passo 7
Aplicando ao item III (frações molares do que sai e do que fica):
- Inicialmente
mol de He e mol de O -> mesmas densidades numéricas iniciais (pressuponto mesmo volume). - A composição do fluxo que sai (por unidade de tempo) é dada pelas taxas relativas:
Com
isso simplifica para
- Como
e , tem-se . Logo a fração de He no gás que efunde é maior que — o gás que sai fica enriquecido em He. - Consequência: o reservatório perde relativamente mais He que O
, de modo que a porção que permanece no reservatório vai ficando relativamente empobrecida em He (a fração molar de He no interior diminui com o tempo). - Portanto a afirmação III (“a porção que vaza e a que permanece têm a mesma fração molar de hélio”) é falsa.
Para ser concreto, calculemos rapidamente a fração inicial do fluxo (usando razões de massas):
- Usando as massas relativas
, (unidades arbitrárias iguais):
- Fração de He no fluxo inicial:
Isto ilustra que o gás que vaza está bastante enriquecido em He; assim o que permanece fica com fração de He menor que a inicial
.
Passo 8
Resumo das respostas a cada afirmação:
- I: falsa (na interpretação de energia cinética de translação média — ambas as espécies têm
). - II: verdadeira (He tem velocidade média de translação maior porque sua massa é bem menor).
- III: falsa (efusão favorece partículas mais leves, então o fluxo que sai não tem a mesma fração molar; o reservatório se empobrece em He).
Portanto há mais de uma afirmação falsa (I e III).
Resposta
d) Há mais de uma afirmação falsa.