A partir da distribuição de Maxwell- Boltzman
N_{v}=4 \pi N\left(\frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3 / 2} v^{2} \mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k_{\mathrm{B}} T}
mostre que
a velocidade quadrática média é v_{\mathrm{qm}}=\sqrt{\left\langle v^{2}\right\rangle}=\sqrt{3 k_{\mathrm{B}} T / m}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de velocidades (número de partículas com velocidade entre v e v+dv):
N_{v}=4 \pi N\left(\frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3 / 2} v^{2} \mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k_{\mathrm{B}} T}
As perguntas são:
  • Mostrar que a velocidade quadrática média v_{\mathrm{qm}}=\sqrt{\langle v^{2}\rangle} vale \sqrt{3 k_{\mathrm{B}} T / m}.
Informações relevantes dadas:
  • N_{v} é o número de partículas com velocidade na faixa [v,v+dv].
  • N é o número total de partículas.
  • m é a massa de uma partícula.
  • k_{\mathrm{B}} é a constante de Boltzmann.
  • T é a temperatura.
  • A distribuição está definida para v\ge 0.

Passo 2

Transformar N_{v} em uma densidade de probabilidade de velocidade f(v) (probabilidade por unidade de velocidade) dividindo por N:
f(v)=\frac{N_{v}}{N}=4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3 / 2} v^{2}\mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k_{\mathrm{B}} T}.
A média de v^{2} é
\langle v^{2}\rangle=\int_{0}^{\infty} v^{2} f(v)\,dv
ou seja
\langle v^{2}\rangle=4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3 / 2}\int_{0}^{\infty} v^{4}\mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k_{\mathrm{B}} T}\,dv.

Passo 3

Para simplificar a integral, defina o parâmetro
\alpha=\frac{m}{2 k_{\mathrm{B}} T}.
Assim a integral a avaliar é
I=\int_{0}^{\infty} v^{4}\mathrm{e}^{-\alpha v^{2}}\,dv.
Logo
\langle v^{2}\rangle=4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3 / 2} I.

Passo 4

Calcule I por substituição. Ponha x=\alpha v^{2}. Então dx=2\alpha v\,dv, ou
dv=\frac{dx}{2\alpha v}=\frac{dx}{2\alpha \sqrt{x/\alpha}}=\frac{dx}{2\sqrt{\alpha x}}.
Também v^{4}=(x/\alpha)^{2}=x^{2}\alpha^{-2}. Substituindo na integral:
I=\int_{0}^{\infty} x^{2}\alpha^{-2}\mathrm{e}^{-x}\cdot\frac{dx}{2\sqrt{\alpha x}} =\frac{1}{2}\alpha^{-5/2}\int_{0}^{\infty} x^{3/2}\mathrm{e}^{-x}\,dx.
A integral \int_{0}^{\infty} x^{3/2}\mathrm{e}^{-x}\,dx é a função Gamma:
\int_{0}^{\infty} x^{3/2}\mathrm{e}^{-x}\,dx=\Gamma\!\left(\tfrac{5}{2}\right).
Portanto
I=\frac{1}{2}\alpha^{-5/2}\Gamma\!\left(\tfrac{5}{2}\right).

Passo 5

Avalie \Gamma\!\left(\tfrac{5}{2}\right). Usando relações da função Gamma:
\Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},\qquad \Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi},\qquad \Gamma\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{3}{2}\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}=\tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}.
Logo
I=\frac{1}{2}\alpha^{-5/2}\cdot\frac{3}{4}\sqrt{\pi}=\frac{3}{8}\alpha^{-5/2}\sqrt{\pi}.

Passo 6

Substitua I em \langle v^{2}\rangle:
\langle v^{2}\rangle=4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3 / 2}\cdot\frac{3}{8}\alpha^{-5/2}\sqrt{\pi}.
Lembre que \alpha=\dfrac{m}{2 k_{\mathrm{B}} T}, então \alpha^{-5/2}=\left(\dfrac{2 k_{\mathrm{B}} T}{m}\right)^{5/2}. Faça as simplificações passo a passo:
Primeiro manipule o fator front:
4\pi\cdot\frac{3}{8}\sqrt{\pi}=\frac{3}{2}\pi\sqrt{\pi}=\frac{3}{2}\pi^{3/2}.
O outro fator é
\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3/2}\left(\frac{2 k_{\mathrm{B}} T}{m}\right)^{5/2} = \frac{m^{3/2}}{(2\pi k_{\mathrm{B}} T)^{3/2}}\cdot\frac{(2 k_{\mathrm{B}} T)^{5/2}}{m^{5/2}}.
Combine potências de m e de 2 k_{\mathrm{B}} T:
\frac{m^{3/2}}{m^{5/2}}=\frac{1}{m},\qquad \frac{(2 k_{\mathrm{B}} T)^{5/2}}{(2\pi k_{\mathrm{B}} T)^{3/2}}=\frac{2^{5/2}}{2^{3/2}\pi^{3/2}}(k_{\mathrm{B}} T)^{(5/2-3/2)} =\frac{2^{1}}{\pi^{3/2}}(k_{\mathrm{B}} T).
Então o produto total vale
\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3/2}\alpha^{-5/2}=\frac{2}{\pi^{3/2}}\cdot\frac{k_{\mathrm{B}} T}{m}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{3}{2}\pi^{3/2} obtido antes:
\langle v^{2}\rangle=\frac{3}{2}\pi^{3/2}\cdot\frac{2}{\pi^{3/2}}\cdot\frac{k_{\mathrm{B}} T}{m}=3\frac{k_{\mathrm{B}} T}{m}.

Passo 7

Portanto
\langle v^{2}\rangle=\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}.
A velocidade quadrática média é a raiz positiva dessa média:
v_{\mathrm{qm}}=\sqrt{\langle v^{2}\rangle}=\sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}.

Resposta

v_{\mathrm{qm}}=\sqrt{\dfrac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}

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