A partir da distribuição de Maxwell- Boltzman
mostre que
a velocidade quadrática média é
a velocidade quadrática média é
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de velocidades (número de partículas com velocidade entre
e
):
As perguntas são:
- Mostrar que a velocidade quadrática média
vale .
Informações relevantes dadas:
-
é o número de partículas com velocidade na faixa . -
é o número total de partículas. -
é a massa de uma partícula. -
é a constante de Boltzmann. -
é a temperatura. - A distribuição está definida para
.
Passo 2
Transformar
em uma densidade de probabilidade de velocidade
(probabilidade por unidade de velocidade) dividindo por
:
A média de
é
ou seja
Passo 3
Para simplificar a integral, defina o parâmetro
Assim a integral a avaliar é
Logo
Passo 4
Calcule
por substituição. Ponha
. Então
, ou
Também
. Substituindo na integral:
A integral
é a função Gamma:
Portanto
Passo 5
Avalie
. Usando relações da função Gamma:
Logo
Passo 6
Substitua
em
:
Lembre que
, então
. Faça as simplificações passo a passo:
Primeiro manipule o fator front:
O outro fator é
Combine potências de
e de
:
Então o produto total vale
Multiplicando pelo fator
obtido antes:
Passo 7
Portanto
A velocidade quadrática média é a raiz positiva dessa média: