Uma peça de aço ( \mathrm{C}_{\mathrm{p}}=0,12 \mathrm{btu} /\left(\mathrm{lbm} .{ }^{\circ} \mathrm{F}\right) ), a 800^{\circ} \mathrm{F} e com 75 lbm , é resfriada em 300 lbm de óleo a 70^{\circ} \mathrm{F}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{p}}=0,6 \mathrm{btu} /\left(\mathrm{lbm}{ }^{\circ} \mathrm{F}\right)\right). Não havendo perdas térmicas, qual a variação de entropia: (a) da peça; (b) do óleo e (c) de ambos, em conjunto?

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia da peça de aço, do óleo e do conjunto (peça + óleo), usando as informações abaixo:
  • Massa da peça de aço: m_s=75\\ \mathrm{lbm}.
  • Calor específico da peça: C_{p,s}=0,12\\ \mathrm{btu}/(\mathrm{lbm}\cdot{^\circ\!F}).
  • Temperatura inicial da peça: T_{s,i}=800\\ ^\circ\!F.
  • Massa do óleo: m_o=300\\ \mathrm{lbm}.
  • Calor específico do óleo: C_{p,o}=0,6\\ \mathrm{btu}/(\mathrm{lbm}\cdot{^\circ\!F}).
  • Temperatura inicial do óleo: T_{o,i}=70\\ ^\circ\!F.
  • Não há perdas térmicas: portanto a energia trocada entre peça e óleo se conserva (sistema isolado).
  • O enunciado pede: (a) \Delta S da peça; (b) \Delta S do óleo; (c) \Delta S do conjunto.
Observação importante para depois: para calcular variação de entropia com C_p constante usamos temperaturas absolutas (Rankine, T(^{\circ}\!R)=T(^{\circ}\!F)+459{,}67). Aqui eu já anotei tudo que o enunciado dá; agora vou resolver.

Passo 2

Encontrar a temperatura final de equilíbrio T_f usando conservação de energia (primeira lei). Explicando a ideia: o calor perdido pela peça é igual ao calor ganho pelo óleo, porque não há perdas. Com C_p constante, o calor trocado por um corpo é Q=m C_p (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}). Assim:
m_s C_{p,s}\bigl(T_{s,i}-T_f\bigr) \;=\; m_o C_{p,o}\bigl(T_f-T_{o,i}\bigr).
Agora substituo os números. Primeiro calcule os produtos mC_p:
m_s C_{p,s}=75\cdot 0{,}12=9\quad(\mathrm{btu}/^\circ\!F),
m_o C_{p,o}=300\cdot 0{,}6=180\quad(\mathrm{btu}/^\circ\!F).
Colocando na equação de balanço:
9(800 - T_f)=180(T_f - 70).
Agora resolvo para T_f. Desenvolvendo:
7200-9T_f =180T_f-12600.
Somando 9T_f e somando 12600 aos dois lados:
7200+12600 = 189 T_f \quad\Rightarrow\quad 19800 = 189 T_f.
Logo
T_f=\frac{19800}{189}=\frac{2200}{21}\approx 104{,}7619048\\ ^\circ\!F.
Breve comentário: essa é a temperatura final em graus Fahrenheit. Para calcular variações de entropia precisamos trabalhar com temperatura absoluta (Rankine), então converteremos no próximo passo.

Passo 3

Converter as temperaturas para a escala absoluta (Rankine). Explicando: a relação entre Fahrenheit e Rankine é T(^{\circ}\!R)=T(^{\circ}\!F)+459{,}67. Vou calcular as três temperaturas em Rankine:
T_{s,i} = 800 + 459{,}67 = 1259{,}67\\ ^\circ\!R,
T_{o,i} = 70 + 459{,}67 = 529{,}67\\ ^\circ\!R,
T_{f} = 104{,}7619048 + 459{,}67 = 564{,}4319048\\ ^\circ\!R.
Agora já temos as temperaturas absolutas necessárias para a fórmula da variação de entropia.

Passo 4

Apresentar a fórmula da variação de entropia para um corpo com C_p constante e explicar: para um processo reversível (ou para calcular mudança de entropia entre dois estados quando C_p é constante) a variação de entropia é
\Delta S = m C_p \ln\!\left(\frac{T_{\text{final (abs)}}}{T_{\text{inicial (abs)}}}\right).
  • Aqui m é a massa (em \mathrm{lbm}),
  • C_p é o calor específico em \mathrm{btu}/(\mathrm{lbm}\cdot{^\circ\!R}) (numericamente igual ao valor em ^\circ\!F porque diferença de escala é a mesma),
  • T são temperaturas absolutas em ^\circ\!R,
  • e \Delta S terá unidades \mathrm{btu}/^\circ\!R.
Vou aplicar essa fórmula separadamente para a peça (resfriando) e para o óleo (aquecendo).

Passo 5

Calcular \Delta S da peça de aço. Substituindo:
\Delta S_s = m_s C_{p,s} \ln\!\left(\frac{T_f}{T_{s,i}}\right) = 75\cdot 0{,}12 \ln\!\left(\frac{564{,}4319048}{1259{,}67}\right).
Já calculamos 75\cdot0{,}12=9. Então
\Delta S_s = 9\;\ln\!\left(\frac{564{,}4319048}{1259{,}67}\right).
Faço a razão e o logaritmo (mostrando o cálculo numérico aproximado):
\frac{564{,}4319048}{1259{,}67}\approx 0{,}44808,
\ln(0{,}44808)\approx -0{,}803.
Portanto
\Delta S_s \approx 9\cdot(-0{,}803)\approx -7{,}23\\ \mathrm{btu}/^\circ\!R.
Interpretação rápida: a peça perde calor, sua entropia diminui (valor negativo), o que faz sentido.

Passo 6

Calcular \Delta S do óleo. Substituindo na fórmula:
\Delta S_o = m_o C_{p,o} \ln\!\left(\frac{T_f}{T_{o,i}}\right) = 300\cdot 0{,}6 \ln\!\left(\frac{564{,}4319048}{529{,}67}\right).
Já calculamos 300\cdot0{,}6=180. Então
\Delta S_o = 180\;\ln\!\left(\frac{564{,}4319048}{529{,}67}\right).
Faço a razão e o logaritmo (aproximados):
\frac{564{,}4319048}{529{,}67}\approx 1{,}06567,
\ln(1{,}06567)\approx 0{,}0636.
Portanto
\Delta S_o \approx 180\cdot 0{,}0636 \approx 11{,}45\\ \mathrm{btu}/^\circ\!R.
Interpretação: o óleo ganha calor e sua entropia aumenta (valor positivo).

Passo 7

Calcular a variação total de entropia do conjunto (peça + óleo) somando as variações individuais. Explicando: a entropia é uma função de estado extensiva, e sem troca de massa com o entorno a variação total é soma das variações:
\Delta S_{total} = \Delta S_s + \Delta S_o.
Substituindo os valores aproximados:
\Delta S_{total}\approx -7{,}23 + 11{,}45 = 4{,}22\\ \mathrm{btu}/^\circ\!R.
Comentários finais: o resultado positivo de \Delta S_{total} indica aumento de entropia quando o sistema isolado evolui espontaneamente ao equilíbrio — coerente com a segunda lei. Os valores numéricos acima foram arredondados a 3 dígitos significativos.

Resposta

(a) -7{,}23\\ \mathrm{btu}/^\circ\!R\n(b) 11{,}45\\ \mathrm{btu}/^\circ\!R\n(c) 4{,}22\\ \mathrm{btu}/^\circ\!R

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