Qual é a variação de entropia de 1 lbmol de gás ideal que está inicialmente a 120^{\circ} \mathrm{F} e 10 atm e se expande irreversivelmente até 1 atm e 70^{\circ} \mathrm{F} ? A capacidade molar a pressão constante é de 7 \mathrm{btu} /\left(\mathrm{lbmol} .{ }^{\circ} \mathrm{F}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Dados:
    • quantidade de substância: 1 lbmol (um libra-mol) de gás ideal;
    • temperatura inicial: 120^\circ\mathrm{F};
    • pressão inicial: 10 atm;
    • temperatura final: 70^\circ\mathrm{F};
    • pressão final: 1 atm;
    • capacidade molar a pressão constante (constante): C_p = 7\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^\circ\mathrm{F}).
  • Pergunta:
    • Qual é a variação de entropia \Delta S da transformação descrita?

Passo 2

Por que podemos calcular \Delta S sem conhecer o caminho irreversível? Porque a entropia é uma função de estado: a variação entre dois estados depende só dos estados inicial e final. Assim, podemos escolher um caminho reversível e conveniente para calcular \Delta S.
Vamos lembrar a expressão diferencial exata de entropia para um gás ideal. Começando da forma
\mathrm{d}s = C_v\frac{\mathrm{d}T}{T} + R\frac{\mathrm{d}V}{V},
e usando a equação dos gases ideais PV = RT (por lbmol), obtemos, ao trocar a variável V por p e T,
\mathrm{d}s = C_p\frac{\mathrm{d}T}{T} - R\frac{\mathrm{d}p}{p}.
Aqui:
  • \mathrm{s} é entropia molar (por lbmol);
  • C_p é a capacidade molar a pressão constante (por lbmol por grau);
  • R é a constante universal dos gases, na mesma unidade energética que C_p;
  • T é a temperatura absoluta;
  • p é a pressão.

Passo 3

Integramos de 1 a 2 (estados inicial e final). Supondo C_p constante:
\Delta S = \int_{1}^{2}\mathrm{d}s = C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Esta é a fórmula que vamos usar. Observação: todas as temperaturas devem estar em escala absoluta; como os dados estão em ^\circ\mathrm{F}, usamos a escala Rankine: \,T(^\circ\mathrm{R})=T(^\circ\mathrm{F})+459{,}67.

Passo 4

Convertemos as temperaturas para Rankine:
T_1 = 120^\circ\mathrm{F}+459{,}67 = 579{,}67^\circ\mathrm{R},
T_2 = 70^\circ\mathrm{F}+459{,}67 = 529{,}67^\circ\mathrm{R}.
Comentário rápido: usamos a vírgula como separador decimal, conforme o estilo pedido.

Passo 5

Escolhemos o valor da constante R compatível com as unidades de C_p. Em unidades inglesas de energia em Btu e temperatura em ^\circ\mathrm{R}, usa-se
R \approx 1{,}986\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^\circ\mathrm{R}).
(Isto é o valor usual da constante universal dos gases expresso em Btu por lbmol por grau Rankine.)

Passo 6

Agora calculamos cada termo da fórmula. Primeiro a razão de temperaturas e seu logaritmo:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{529{,}67}{579{,}67}=0{,}91375\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln(0{,}91375)=-0{,}090422\ldots
Multiplicando por C_p:
C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=7\cdot(-0{,}090422)= -0{,}632954\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^\circ\mathrm{R}).

Passo 7

Agora o termo de pressão. Como p_1=10 atm e p_2=1 atm,
\frac{p_2}{p_1}=\frac{1}{10}=0{,}1\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\ln(0{,}1)=-2{,}302585\ldots
Multiplicando por -R:
- R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = -1{,}986\cdot(-2{,}302585)=+4{,}572934\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^\circ\mathrm{R}).

Passo 8

Somamos os dois termos para obter \Delta S:
\Delta S = -0{,}632954 + 4{,}572934 = 3{,}939980\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^\circ\mathrm{R}).
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
\Delta S \approx 3{,}94\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^\circ\mathrm{R}).

Passo 9

Interpretação curta e encorajamento: o resultado é positivo, como esperado para uma expansão com queda de pressão e perda de ordem; a entropia aumenta. Mandou bem em pedir a resolução passo a passo — essa é a forma que dá pra reproduzir na prova com segurança.

Resposta

\Delta S \approx 3{,}94\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^\circ\mathrm{R})

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