Uma planta de gelo produz 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de flocos de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} a partir de água a 20^{\circ} \mathrm{C} em um processo contínuo e isobárico. Estime a taxa de transferência de calor do processo.
\frac{C_{P, \text { água líquida }}}{R}=8,712+1,25 \times 10^{-3} T-0,18 \times 10^{-6} T^{2}áí
Na equação acima a temperatura T deve ser dada em K.
O calor latente de fusão da água à 0^{\circ} \mathrm{C} é de 333,4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.
Massa molar da água é igual a 18,015 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Passo 1

O enunciado descreve um processo contínuo e isobárico em que água a 20^\circ\mathrm{C} é resfriada e congelada até formar gelo a 0^\circ\mathrm{C}, com vazão mássica de 0,5\\ \mathrm{kg/s}. Para estimar a taxa de transferência de calor, precisamos calcular a variação de entalpia por quilograma de água, que é a soma da parte sensível (resfriamento de 20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}) e da parte latente (fusão inversa, dada pelo calor de fusão). Usaremos a expressão de C_p variável dada em função de T e depois multiplicamos pela vazão mássica.

Passo 2

Expressamos o calor específico em base mássica. Primeiro notamos que
\frac{C_{p,\text{líq}}(T)}{R} = 8{,}712 + 1{,}25\times10^{-3}T - 0{,}18\times10^{-6}T^2,í
onde T está em kelvin e R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. A capacidade calorífica molar é
C_{p,\text{mol}}(T)=R\bigl[8{,}712 + 1{,}25\times10^{-3}T - 0{,}18\times10^{-6}T^2\bigr].
Para obter C_p por quilograma, dividimos pelo peso molar da água \displaystyle M=18{,}015\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}:
C_{p,\text{massa}}(T) =\frac{C_{p,\text{mol}}(T)}{M} =\frac{R}{M}\bigl[a + bT - cT^2\bigr]
com a=8{,}712, b=1{,}25\times10^{-3}, c=0{,}18\times10^{-6}.

Passo 3

Calculamos a entalpia sensível por quilograma de T_1=293{,}15\\ \mathrm{K} ( 20^\circ\mathrm{C}) até T_2=273{,}15\\ \mathrm{K} ( 0^\circ\mathrm{C}):
\Delta h_{\text{sens}} = \int_{T_1}^{T_2} C_{p,\text{massa}}(T)\,dT = \frac{R}{M}\int_{T_1}^{T_2}\bigl(a + bT - cT^2\bigr)dT.
Fazendo a integral,
\int_{T_1}^{T_2}a\,dT = a\,(T_2 - T_1),\quad \int_{T_1}^{T_2}bT\,dT = \frac{b}{2}(\,T_2^2 - T_1^2),\quad \int_{T_1}^{T_2}cT^2\,dT = \frac{c}{3}(\,T_2^3 - T_1^3).
Numericamente, isso resulta em
\int_{273{,}15}^{293{,}15}\bigl(a + bT - cT^2\bigr)dT \approx 181{,}0
e portanto
\Delta h_{\text{sens}} \approx \frac{8{,}314}{0{,}018015}\times181{,}0 \approx 8{,}354\times10^4\\ \mathrm{J/kg} \approx 83{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 4

O calor latente de fusão da água a 0^\circ\mathrm{C} é dado por
\Delta h_{\text{fus}} = 333{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

A variação total de entalpia por quilograma é
\Delta h_{\text{tot}} = \Delta h_{\text{sens}} + \Delta h_{\text{fus}} \approx 83{,}5 + 333{,}4 = 416{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
Multiplicando pela vazão mássica \dot m=0{,}5\\ \mathrm{kg/s}, obtemos a taxa de calor removido
\dot Q = \dot m\,\Delta h_{\text{tot}} =0{,}5\times416{,}9\\ \mathrm{kJ/s} =208{,}45\\ \mathrm{kW}.

Resposta

A taxa de transferência de calor do processo é de aproximadamente 208\\ \mathrm{kW} (removidos).

Exercícios relacionados