Pode-se modelar um cristal perfeito considerando cada átomo como conectado a um sítio específico por um potencial harmônico (tipo mola). Ou seja, neste caso, a hamiltoniana poderia ser escrita como:
H=sumi=1^N[pi^22 m+k2(ri-ri, eq)^2]
em que k é a constante de força da mola e ri, eq é o vetor posição de equilíbrio do átomo i.
Assim:
a) determine a função de partição canônica deste cristal;
b) determine a energia livre de Helmholtz deste cristal;
c) determine a entropia deste cristal;
d) determine a energia interna deste cristal;
e) determine a pressão deste cristal;
f) determine o potencial químico para este cristal.

Passo 1

Beleza, vamos de um jeito bem tranquilo. A questão é calcular várias grandezas termodinâmicas de um cristal que a gente modela como N átomos presos a sítios de equilíbrio por “molas” – ou seja, N osciladores harmônicos clássicos em 3D. Para resolver, vamos usar mecânica estatística clássica no ensemble canônico (T fixo, N fixo, V irrelevante porque a posição de equilíbrio já fixa o volume). Precisamos:
• saber definir a função de partição canônica Z,
• usar Z para obter a energia livre de Helmholtz F,
• daí tirar a entropia S, a energia interna U, a pressão P e o potencial químico μ.
Para tudo isso entra integral de Gauss (∫e^{-a x²}dx = √(π/a)) e conceitos de β=1/(k_BT) e fator h³ por partícula (para dimensões de fase).

Passo 2

Calcular Z.
Definição:
Z = 1h^3Nintegral prodi=1^N d^3pi,d^3ri;exp[-betasumi(tfracpi^22m+tfrack2(ri-ri,eq)^2)]
Como cada átomo é independente, a integral fatoriza em produto de N integrais idênticas. Para um oscilador em 3D:
– parte cinética (3 variáveis p):
integral d^3p,e^-beta p^2/(2m) =g(integral-infty^inftydp,e^-beta p^2/(2m)g)^3 =(raiz2pi mbeta)^3
– parte potencial (3 variáveis x):
integral d^3x,e^-beta,tfrack2x^2 =(raiz2pibeta k)^3
Juntando e incluindo o fator 1/h³ por partícula, para 1 oscilador:
Z1=1h^3(2pi mbeta)^3/2(2pibeta k)^3/2
Logo, para N osciladores:
boxedZ = Z1^N =g[1h^3(2pi m kBT)^3/2g(2pi kBTkg)^3/2g]^!N

Passo 3

Energia livre de Helmholtz F = –k_BT ln Z.
F=-kBT,Nln Z1 =-NkBTg[tfrac32ln2pi m kBTh^2+tfrac32ln2pi kBTkg]

Passo 4

Entropia S = –∂F/∂T (mantendo N fixo):
derivando
F=-NkBT[A+ln T],
onde S=-partial Fpartial T =NkB[A+ln T+1] .
Fica
boxedS=NkB[tfrac32ln2pi m kBTh^2+tfrac32ln2pi kBTk+1]
Voltando A,

Passo 5

Energia interna U. Pode usar
U = –∂ln Z/∂β ou equipartição direta. São 6N graus quadráticos (3 p + 3 x) a k_BT/2 cada:
boxedU=3N,kBT

Passo 6

Pressão P = –(∂F/∂V)_{T,N}. Aqui F não depende de V (volume não aparece na modelagem clássica do oscilador preso), então
boxedP=0

Passo 7

Potencial químico μ = (∂F/∂N)_{T,V}. Como F ∝ N,
boxedmu=FN =-kBT[tfrac32ln2pi m kBTh^2+tfrac32ln2pi kBTk]

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)

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