Pode-se modelar um cristal perfeito considerando cada átomo como conectado a um sítio específico por um potencial harmônico (tipo mola). Ou seja, neste caso, a hamiltoniana poderia ser escrita como:
em que
é a constante de força da mola e
é o vetor posição de equilíbrio do átomo
.
Assim:
a) determine a função de partição canônica deste cristal;
b) determine a energia livre de Helmholtz deste cristal;
c) determine a entropia deste cristal;
d) determine a energia interna deste cristal;
e) determine a pressão deste cristal;
f) determine o potencial químico para este cristal.
Assim:
a) determine a função de partição canônica deste cristal;
b) determine a energia livre de Helmholtz deste cristal;
c) determine a entropia deste cristal;
d) determine a energia interna deste cristal;
e) determine a pressão deste cristal;
f) determine o potencial químico para este cristal.
Passo 1
Beleza, vamos de um jeito bem tranquilo. A questão é calcular várias grandezas termodinâmicas de um cristal que a gente modela como N átomos presos a sítios de equilíbrio por “molas” – ou seja, N osciladores harmônicos clássicos em 3D. Para resolver, vamos usar mecânica estatística clássica no ensemble canônico (T fixo, N fixo, V irrelevante porque a posição de equilíbrio já fixa o volume). Precisamos:
• saber definir a função de partição canônica Z,
• usar Z para obter a energia livre de Helmholtz F,
• daí tirar a entropia S, a energia interna U, a pressão P e o potencial químico μ.
Para tudo isso entra integral de Gauss (∫e^{-a x²}dx = √(π/a)) e conceitos de β=1/(k_BT) e fator h³ por partícula (para dimensões de fase).
• saber definir a função de partição canônica Z,
• usar Z para obter a energia livre de Helmholtz F,
• daí tirar a entropia S, a energia interna U, a pressão P e o potencial químico μ.
Para tudo isso entra integral de Gauss (∫e^{-a x²}dx = √(π/a)) e conceitos de β=1/(k_BT) e fator h³ por partícula (para dimensões de fase).
Passo 2
Calcular Z.
Definição:
Definição:
Como cada átomo é independente, a integral fatoriza em produto de N integrais idênticas. Para um oscilador em 3D:
– parte cinética (3 variáveis p):
– parte cinética (3 variáveis p):
– parte potencial (3 variáveis x):
Juntando e incluindo o fator 1/h³ por partícula, para 1 oscilador:
Logo, para N osciladores:
Passo 3
Energia livre de Helmholtz F = –k_BT ln Z.
Passo 4
Entropia S = –∂F/∂T (mantendo N fixo):
derivando
derivando
onde
.
Fica
Fica
Voltando A,
Passo 5
Energia interna U. Pode usar
U = –∂ln Z/∂β ou equipartição direta. São 6N graus quadráticos (3 p + 3 x) a k_BT/2 cada:
U = –∂ln Z/∂β ou equipartição direta. São 6N graus quadráticos (3 p + 3 x) a k_BT/2 cada:
Passo 6
Pressão P = –(∂F/∂V)_{T,N}. Aqui F não depende de V (volume não aparece na modelagem clássica do oscilador preso), então
Passo 7
Potencial químico μ = (∂F/∂N)_{T,V}. Como F ∝ N,
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)