Um dos importantes processos de separação é a adsorção. O fenômeno de adsorção consiste na interação atrativa entre as partículas que constituem o fluido e as partículas que constituem o material adsorvente. Um modelo possível para representar o fenômeno de adsorção é considerar a interação entre a parede e o fluido adsorvido como um potencial externo aplicado sobre cada partícula do fluido.
Para um modelo de rede para um fluido puramente repulsivo, a função de partição canônica
para o fluido adsorvido considerando um potencial externo pode ser escrita como:
em que
é o número de células,
é o número de partículas,
(sendo
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura absoluta),
é o potencial externo que representa a interação parede-fluido e
é o vetor posição adimensionalizado (
, em que
é o volume).
O potencial externo pode ser calculado como:
Usando o modelo de campo médio:
portanto:
a) derive uma equação de estado (
, em que
para o fluido adsorvido;
b) derive uma equação de estado (
), em que
) para o fluido não-adsorvido - para o fluido não-adsorvido
;
c) para calcular a isoterma de adsorção, basta impor o critério de equilíbrio de fases para o qual o potencial químico do fluido adsorvido deve ser igual ao potencial químico do fluido não-adsorvido (bulk). Assim, encontre uma relação entre
e
;
d) um modelo famoso para representar a isoterma de adsorção é o modelo de Langmuir:
Pela expressão achada no item c, e fazendo uma aproximação para a relação achada no item b, mostre como a constante
do modelo de Langmuir está relacionada ao potencial de interação parede-fluido,
.
para o fluido adsorvido considerando um potencial externo pode ser escrita como:
b) derive uma equação de estado (
c) para calcular a isoterma de adsorção, basta impor o critério de equilíbrio de fases para o qual o potencial químico do fluido adsorvido deve ser igual ao potencial químico do fluido não-adsorvido (bulk). Assim, encontre uma relação entre
d) um modelo famoso para representar a isoterma de adsorção é o modelo de Langmuir:
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado fala de adsorção numa rede de
células ocupadas por
partículas, descreve a partição canônica com potencial externo de parede-fluido e pede que a gente:
a) ache uma equação de estado para o fluido adsorvido;
b) ache uma equação de estado pro fluido “bulk” (com
);
c) iguale potenciais químicos pra relacionar e
;
d) mostre que no limite dá a isoterma de Langmuir e ache como depende de
.
Vamos usar termodinâmica de gás de sítios (lattice gas), fugacidade, potencial químico e o truque de escrever ocupação em função da fugacidade.
a) ache uma equação de estado
b) ache uma equação de estado
c) iguale potenciais químicos pra relacionar
d) mostre que no limite dá a isoterma de Langmuir e ache como
Vamos usar termodinâmica de gás de sítios (lattice gas), fugacidade, potencial químico e o truque de escrever ocupação
Passo 2
Derivando
.
- Num lattice gas com célula de volume
, grand potencial por volume é
,
ondeé a fugacidade do sistema. - A ocupação é
, logo . - No caso adsorvido o potencial externo field aumenta a fugacidade em
, isto é
. - Logo a pressão (
) é
- Usando de novo
dá forma simples
Passo 3
Derivando
.
Aqui , então
. Seguindo os mesmos passos:
Aqui
Logo
Passo 4
Equilíbrio de fases:
.
Para lattice gas .
Para lattice gas
- No adsorvido tem campo
, ou seja
- No bulk (
)
Igualando
Passo 5
Do item anterior temos
Agora, para ligar com Langmuir, aproximamos e também, de
, vem
Assim
Agora, para ligar com Langmuir, aproximamos
Assim
onde
Resposta
a)
.
b) .
c) .
d) No limite e
, a isoterma de Langmuir surge com
, i.e.\
.
b)
c)
d) No limite