Pela Termodinâmica Clássica, o calor específico a volume constante é definido como:
em que
é o calor específico a volume constante,
é a energia interna molar,
é a temperatura absoluta,
é o volume e
é a quantidade de matéria.
Já pela Mecânica Estatística, conseguimos relacionar a energia interna de um sistema com a função de partição canônica através da seguinte relação:
em que
é a energia interna,
é a média da energia no conjunto,
é a função de partição canônica e
(em que
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura absoluta).
No conjunto canônico, cada sistema tem mesmo número de partículas, mesmo volume e estão a mesma temperatura. Entrentanto, a energia de cada sistema pode ser diferente. Tanto
é assim que calculamos a média da energia para definir a energia interna. Ou seja, a energia dos sistemas através do conjunto flutua. Um resultado muito bonito da mecânica estatística é que as propriedades derivadas estão conectadas a flutuações no conjunto. Por exemplo, o calor específico a volume constante está intrinsecamente ligado à flutuação da energia no conjunto canônico.
Assim, prove que o calor específico a volume constante é na verdade uma medida da flutuação da energia, ou seja, uma medida da variância da energia:
é assim que calculamos a média da energia para definir a energia interna. Ou seja, a energia dos sistemas através do conjunto flutua. Um resultado muito bonito da mecânica estatística é que as propriedades derivadas estão conectadas a flutuações no conjunto. Por exemplo, o calor específico a volume constante está intrinsecamente ligado à flutuação da energia no conjunto canônico.
Passo 1
Beleza, vamos lá: o enunciado quer que a gente mostre que o calor específico a volume constante, definido via Termodinâmica Clássica como
pode ser escrito em termos de flutuações de energia num ensemble canônico como
O conteúdo aqui envolve Termodinâmica (calor específico) e Mecânica Estatística (função de partição, média e variância de energia). Para resolver, vamos precisar:
- A relação
com . - Saber que
dá a variância de . - Traduzir
em termos de derivadas em .
Passo 2
Primeiro, lembrando a energia interna do ensemble canônico:
onde
é a função de partição e
. Agora a gente sabe de Mecânica Estatística que
que é, exatamente, a variância das energias no conjunto.
Passo 3
Queremos
. Como
(energia por partícula), a gente tem
Mas
está dado em função de
, então aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que
E
Passo 4
Juntando tudo:
Então