Pela Termodinâmica Clássica, o calor específico a volume constante é definido como:
cv=(partial upartial T)V, n
em que cv é o calor específico a volume constante, u é a energia interna molar, T é a temperatura absoluta, V é o volume e n é a quantidade de matéria.
Já pela Mecânica Estatística, conseguimos relacionar a energia interna de um sistema com a função de partição canônica através da seguinte relação:
U equivlang<= Erang<=ens=-partial ln Qpartial beta
em que U é a energia interna, lang<= Erang<= ens é a média da energia no conjunto, Q é a função de partição canônica e kB (em que T é a constante de Boltzmann e cv=lang<= E^2rang<=-lang<= Erang<=^2N kB T^2 é a temperatura absoluta).
No conjunto canônico, cada sistema tem mesmo número de partículas, mesmo volume e estão a mesma temperatura. Entrentanto, a energia de cada sistema pode ser diferente. Tanto
é assim que calculamos a média da energia para definir a energia interna. Ou seja, a energia dos sistemas através do conjunto flutua. Um resultado muito bonito da mecânica estatística é que as propriedades derivadas estão conectadas a flutuações no conjunto. Por exemplo, o calor específico a volume constante está intrinsecamente ligado à flutuação da energia no conjunto canônico.
Assim, prove que o calor específico a volume constante é na verdade uma medida da flutuação da energia, ou seja, uma medida da variância da energia:

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado quer que a gente mostre que o calor específico a volume constante, definido via Termodinâmica Clássica como
cv=l(partial upartial Tr)V,n,
pode ser escrito em termos de flutuações de energia num ensemble canônico como
cv=lang<= E^2rang<=-lang<= Erang<=^2N,kB,T^2
O conteúdo aqui envolve Termodinâmica (calor específico) e Mecânica Estatística (função de partição, média e variância de energia). Para resolver, vamos precisar:
  1. A relação com .
  2. Saber que dá a variância de .
  3. Traduzir em termos de derivadas em .

Passo 2

Primeiro, lembrando a energia interna do ensemble canônico:
U(beta)=-partial ln Qpartial beta,
onde partial^2ln Qpartial beta^2 =llang<= E^2rrang<=-llang<= Errang<=^2 é a função de partição e . Agora a gente sabe de Mecânica Estatística que
que é, exatamente, a variância das energias no conjunto.

Passo 3

Queremos cv =1N,partial Upartial T . Como partial Upartial T =partial Upartial beta,dbetadT (energia por partícula), a gente tem
dbetadT =ddTl(1kBTr) =-1kBT^2
Mas partial Upartial beta =-partialpartial betal(partial ln Qpartial betar) =-partial^2ln Qpartial beta^2 =-l(lang<= E^2rang<=-lang<= Erang<=^2r) está dado em função de , então aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que
E

Passo 4

Juntando tudo:
partial Upartial T =l[-l(lang<= E^2rang<=-lang<= Erang<=^2r)r] ;times;l[-1kBT^2r] =lang<= E^2rang<=-lang<= Erang<=^2kBT^2
Então
cv =1N,partial Upartial T =1N,lang<= E^2rang<=-lang<= Erang<=^2kBT^2 =lang<= E^2rang<=-lang<= Erang<=^2N,kB,T^2

Resposta

boxed,cv =lang<= E^2rang<=-lang<= Erang<=^2N,kB,T^2,

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