Prove as seguintes relações para um fluido simples:
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Provar que
. - Provar que
.
Informações e definições relevantes (estas são as ferramentas que aparecem no enunciado; não as estamos usando ainda):
- Volume específico:
. - Coeficiente de dilatação térmica (expansão volumétrica):
. - Compressibilidade isotérmica:
. - Compressibilidade adiabática (isentrópica):
. - Capacidades térmicas (por unidade de massa ou por mol, conforme convenção consistente):
e , onde é a entropia específica. - Relação de Maxwell útil (obtida a partir do potencial de Helmholtz ou Gibbs):
. - Expressão do diferencial de entropia em variáveis
: (dessa forma obtemos ).
Passo 2
Primeira etapa técnica: obter a identidade clássica
Detalhamento passo a passo (muito mastigado):
- Escreve-se a diferença das capacidades usando as definições:
- Usar regra da cadeia para passar de derivada em
para derivada em :
Substituindo na expressão para
cancela o termo
e fica
- Aplicar a relação de Maxwell indicada:
Então
- Expressar
em termos de derivadas que conhecemos. Para isso consideramos a diferencial total de em que, forçando (processo isobárico fictício), obtemos
Rearranjando:
- Substituindo esse resultado em
dá
- Agora use as definições de
e :
e, invertendo a última,
.
- Substituindo esses valores em (5) resulta
Portanto a identidade desejada foi obtida:
Passo 3
Agora uso (de forma didática) a identidade anterior para chegar à relação entre as compressibilidades.
- Calcule
. Parte-se da expressão diferencial de em :
Em um processo isentrópico
, então
- Use a relação de diferenciais para
com variável intermediária :
Substituindo
e
, obtemos
- Multiplicando por
para transformar em compressibilidades:
- Agora usar a identidade do Passo 2
. Reescrevendo em forma útil:
Substituir na expressão de
dá
- Finalmente, dividir ambos os lados por
fornece a relação pedida:
Passo 4
Provar a segunda relação
Novamente, passo a passo e bem explicado:
- Partir da definição
. Como é tratado como constante ao derivar em relação a em temperatura fixa, temos
- Pela igualdade das derivadas parciais mistas (regularidade das funções termodinâmicas), podemos trocar a ordem das derivadas:
- Usar a expressão de
em (já dada no Passo 1):
- Substituir em (2):
- Desenvolver a derivada do produto
:
Mas
. Então
- Substituindo em (4) obtemos a expressão final:
Portanto a segunda relação também está provada: