O que é o potencial químico e qual seu papel no ensemble grande canônico?
Passo 1
O enunciado pede para a gente entender o que é o potencial químico e qual é o seu papel no ensemble grande canônico. O conteúdo aqui é Termodinâmica Estatística, e para responder vamos precisar:
– A definição termodinâmica de potencial químico;
– Como ele aparece na expressão do diferencial da energia interna e dos potenciais termodinâmicos;
– A formulação estatística do ensemble grande canônico, em particular a partição canônica estendida para troca de partículas.
– A definição termodinâmica de potencial químico;
– Como ele aparece na expressão do diferencial da energia interna e dos potenciais termodinâmicos;
– A formulação estatística do ensemble grande canônico, em particular a partição canônica estendida para troca de partículas.
Passo 2
Na Termodinâmica clássica, o potencial químico
aparece quando permitimos variação do número de partículas
. A partir da energia interna
, temos o diferencial
Isso significa que
é a variação de
ao adicionar uma partícula mantendo entropia
e volume
constantes. Em notação,
Passo 3
Em muitas aplicações trabalhamos com a energia livre de Helmholtz
cujo diferencial é
Dessa forma podemos usar
o que mostra que o potencial químico mede o custo em energia livre para incluir uma partícula no sistema a
e
fixos.
Passo 4
No ensemble grande canônico a gente permite que o sistema troque calor e partículas com um reservatório, de modo que
,
e
são fixos externamente. A probabilidade de um microestado
com energia
e número de partículas
é
onde
. A constante de normalização é a função de partição grande canônica
Passo 5
O papel de
aqui é de Lagrangeano que controla a média de
. De fato, a partir de
obtemos o número médio de partículas
e a grande potencial termodinâmico (ou potencial de Landau)
cujo diferencial é
Assim,
regula o fluxo de partículas, garantindo que o sistema atinja o valor médio desejado de
imposto pelo reservatório.
Resposta
O potencial químico
é definido termodinamicamente como
e corresponde à energia livre necessária para adicionar uma partícula. No ensemble grande canônico,
atua como parâmetro de controle que aparece na distribuição
, servindo de Lagrange multiplier para ajustar a média de partículas, e entra diretamente na partição
e no grande potencial
.