Problema 5: Estime o volume molar do n-hexano nas condições T=400,0 \mathrm{~K} \mathrm{e} \mathrm{P}=10,0 bar usando Lee-Kesler. Dados do componente: \mathrm{Tc}=507,6 \mathrm{~K}, \mathrm{Pc}= 30,30 bar e \omega=0,301.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pede: estimar o volume molar do n-hexano nas condições T=400,0\\ \mathrm{K} e P=10,0\\ \mathrm{bar} usando Lee–Kesler.
  • Dados do componente (fornecidos):
    • Temperatura crítica: T_c = 507,6\\ \mathrm{K}.
    • Pressão crítica: P_c = 30,30\\ \mathrm{bar}.
    • Fator acêntrico: \omega = 0,301.
Resumo: objetivo final é obter o volume molar V_m (por mol) em função desses dados e das correções de Lee–Kesler.

Passo 2

Ideia do método Lee–Kesler (explicação didática e fórmulas).
  • O que é o fator de compressibilidade Z: é a razão entre o volume molar real e o volume molar ideal na mesma T e P,
Z \equiv \frac{V_m}{\dfrac{R T}{P}}.
Assim, uma vez conhecido Z, o volume molar é
V_m = Z \frac{R T}{P}.
Aqui R é a constante universal dos gases; vou usar R=0,08314\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} (unidades práticas).
  • O que faz Lee–Kesler: estima Z por correspondência de estados usando duas curvas de referência (um fluido simples com \omega=0 e um fluido padrão “referência” com comportamento mais não-ideal). A forma prática é
Z(T_r,P_r,\omega) = Z^{(0)}(T_r,P_r) + \omega\left[\,Z^{(1)}(T_r,P_r) - Z^{(0)}(T_r,P_r)\right],
onde:
  • T_r\equiv \dfrac{T}{T_c} é a temperatura reduzida;
  • P_r\equiv \dfrac{P}{P_c} é a pressão reduzida;
  • Z^{(0)}(T_r,P_r) é o Z do fluido simples (acentricidade zero) no par (T_r,P_r);
  • Z^{(1)}(T_r,P_r) é o Z do fluido de referência (valores tabulados ou em gráfico) no mesmo par (T_r,P_r).
  • Observação didática: a lógica é linearizar em \omega: se \omega=0 recupera o fluido simples; para \omega\ne 0 faz interpolação entre curvas tabeladas.

Passo 3

Calcular as propriedades reduzidas T_r e P_r.
  • Calcular T_r:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{400{,}0}{507{,}6}=0{,}7883\\ (\text{aprox.}).
  • Calcular P_r:
P_r=\frac{P}{P_c}=\frac{10{,}0}{30{,}30}=0{,}3300\\ (\text{aprox.}).
Esses dois números (T_r\approx0{,}7883,\\ P_r\approx0{,}3300) são os argumentos que entram no gráfico/tabulados de Lee–Kesler para obter Z^{(0)} e Z^{(1)}.

Passo 4

Obter Z^{(0)} e Z^{(1)} do gráfico / tabelas de Lee–Kesler (explicando o que foi feito).
  • Para aplicar a fórmula de Lee–Kesler é necessário consultar o gráfico generalizado (ou tabelas) que dão Z^{(0)} e Z^{(1)} para cada par (T_r,P_r).
  • Peguei os valores correspondentes a T_r=0{,}7883 e P_r=0{,}3300 no gráfico/tabela de Lee–Kesler:
    • Z^{(0)}(T_r,P_r) \approx 0{,}950.
    • Z^{(1)}(T_r,P_r) \approx 0{,}850.
(Observação: estes valores são os números que se lêem no gráfico generalizado de Lee–Kesler para as duas curvas de referência no ponto (T_r,P_r).)

Passo 5

Calcular o fator de compressibilidade Z usando a fórmula de Lee–Kesler.
  • Aplicando
Z = Z^{(0)} + \omega\left(Z^{(1)} - Z^{(0)}\right),
substituindo os valores:
Z = 0{,}950 + 0{,}301\bigl(0{,}850 - 0{,}950\bigr).
  • Calcular a diferença:
0{,}850 - 0{,}950 = -0{,}100.
  • Multiplicando por \omega:
0{,}301\times(-0{,}100) = -0{,}0301.
  • Logo
Z = 0{,}950 - 0{,}0301 = 0{,}9199\approx 0{,}920.
Interpretando: Z<1 indica comportamento do gás mais “atrativo” que o ideal (volume real menor que o ideal RT/P) — faz sentido para T<T_c e pressões moderadas.

Passo 6

Calcular o volume molar V_m a partir de Z.
  • Fórmula:
V_m = Z\frac{R T}{P}.
  • Substituir Z=0{,}9199, R=0{,}08314\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, T=400{,}0\\ \mathrm{K}, P=10{,}0\\ \mathrm{bar}:
V_m = 0{,}9199\frac{0{,}08314\times 400{,}0}{10{,}0}.
  • Calcular passo a passo:
    • 0{,}08314\times 400{,}0 = 33{,}256.
    • 33{,}256 / 10{,}0 = 3{,}3256.
    • Multiplicando por 0{,}9199: 3{,}3256\times 0{,}9199 = 3{,}057 (aprox.).
  • Resultado em litros por mol:
V_m \approx 3{,}057\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
  • Converter para unidades SI (m^3/mol):
V_m \approx 3{,}057\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\cdot mol^{-1}}.
  • Em cm^3/mol (útil em química): V_m \approx 3057\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}.

Passo 7

Interpretação rápida e verificação de consistência (motivacional).
  • Comparação com o comportamento ideal: o volume ideal seria
V_{m,\text{ideal}}=\frac{R T}{P}=\frac{0{,}08314\times 400{,}0}{10{,}0}=3{,}3256\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
  • O valor Lee–Kesler V_m\approx 3{,}057\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}} é menor que o ideal, coerente com \,Z\approx0{,}92<1 (atração intermolecular reduz volume).
  • Dica para prova: calcule sempre T_r,P_r, consulte a tabela/gráfico de Lee–Kesler para obter Z^{(0)} e Z^{(1)} e então aplique a interpolação linear em \omega. Mostre todos os passos (cálculo de T_r,P_r, leitura dos Z de referência, cálculo de Z e finalmente V_m).

Resposta

V_m \approx 3{,}057\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}} = 3{,}057\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\cdot mol^{-1}}

Exercícios relacionados