Problema 4: Estime o volume molar do propano em estado líquido saturado a T =250,0 \mathrm{~K} usando a equação de Rackett.

Passo 1

O enunciado pede: estimar o volume molar do propano em estado líquido saturado à temperatura T=250{,}0\\ \mathrm{K} usando a equação de Rackett.
Informações relevantes que o enunciado não dá explicitamente, mas que são necessárias para aplicar a equação de Rackett (estas são propriedades críticas e o fator de compressibilidade crítico que normalmente se obtêm em tabelas ou bases de dados):
  • Temperatura crítica do propano: T_c.
  • Pressão crítica do propano: P_c.
  • Fator de compressibilidade crítico do propano: Z_c.
    Também usaremos a constante dos gases ideais R.
    Não há figuras nem tabelas no enunciado, então eu vou usar valores padrão de literatura para as propriedades críticas do propano (vou explicitar quais valores estou tomando).

Passo 2

Apresentar a equação de Rackett que vou usar e explicar cada símbolo. Uma forma prática e muito usada da equação de Rackett para o volume molar do líquido saturado é
V_m^{\text{liq}}=\frac{R\,T_c}{P_c}\;Z_c^{\,1+\left(1-T_r\right)^{2/7}},
onde:
  • V_m^{\text{liq}} é o volume molar do líquido saturado (unidade: \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}});
  • R é a constante universal dos gases \left(R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\right);
  • T_c é a temperatura crítica (K);
  • P_c é a pressão crítica (Pa);
  • Z_c é o fator de compressibilidade na condição crítica (adimensional), definido por Z_c=\dfrac{P_c V_c}{R T_c} onde V_c é o volume molar crítico;
  • T_r é a temperatura reduzida, definida por T_r=\dfrac{T}{T_c}.
    Breve comentário didático: a forma acima garante que, para T=T_c (ou seja T_r=1), o expoente fica 1 e V_m^{\text{liq}} volta ao valor crítico V_c=(R T_c/P_c)Z_c. Para T<T_c o expoente 1+(1-T_r)^{2/7} torna-se maior que 1; como normalmente 0<Z_c<1 (compressibilidade crítica menor que 1), isso faz com que V_m^{\text{liq}}<V_c, ou seja o líquido subcrítico fica com volume molar menor que o crítico — comportamento físico esperado.

Passo 3

Escolher e explicitar os valores críticos do propano usados (valores típicos de tabelas como NIST):
  • T_c = 369{,}83\\ \mathrm{K}.
  • P_c = 4{,}248\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (ou 4{,}248\\ \mathrm{MPa}).
  • Z_c = 0{,}282 (valor típico do fator de compressibilidade crítico para propano).
    Comentário: esses valores são extraídos de tabelas padrão; pequenas variações nas fontes (por exemplo Z_c=0{,}286) modificam ligeiramente o resultado final, mas não a metodologia. Vou usar os valores acima para a estimativa.

Passo 4

Calcular a temperatura reduzida T_r e o termo \left(1-T_r\right)^{2/7}.
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{250{,}0}{369{,}83}\approx 0{,}6760.
1-T_r \approx 1-0{,}6760 = 0{,}3240.
Agora elevar a 2/7 (note que 2/7\approx 0{,}285714):
\left(1-T_r\right)^{2/7} \approx 0{,}3240^{0{,}285714}\approx 0{,}7253.
(Expliquei: calculei \ln(0{,}3240), multipliquei por 0{,}285714 e então apliquei exponencial — procedimento numérico padrão para potências.)

Passo 5

Calcular o expoente completo que aparece em Z_c^{\cdot}:
\text{expoente} = 1+\left(1-T_r\right)^{2/7} \approx 1 + 0{,}7253 = 1{,}7253.

Passo 6

Calcular o prefator \dfrac{R T_c}{P_c} e depois a potência de Z_c, e finalmente V_m^{\text{liq}}.
Primeiro o prefator:
\frac{R T_c}{P_c}=\frac{8{,}314462618\cdot 369{,}83}{4{,}248\times10^{6}} \approx 7{,}23637\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.
Agora calcular Z_c^{\text{expoente}}:
Z_c^{1+\left(1-T_r\right)^{2/7}} \approx 0{,}282^{1{,}7253}.
Cálculo da potência (usar logaritmos):
\ln(0{,}282)\approx -1{,}2657,\qquad 1{,}7253\cdot\ln(0{,}282)\approx -2{,}1848,
0{,}282^{1{,}7253}=\exp(-2{,}1848)\approx 0{,}1125.
Agora a multiplicação final:
V_m^{\text{liq}} \approx 7{,}23637\times10^{-4}\times 0{,}1125 \approx 8{,}141\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.

Passo 7

Interpretar o resultado em unidades mais familiares (cm3·mol{-1}):
1\\ \mathrm{m^3}=10^{6}\\ \mathrm{cm^3}\quad\Rightarrow\quad V_m^{\text{liq}}\approx 8{,}141\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}=81{,}41\\ \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}}.
Comentário prático e encorajador: esse valor está na faixa esperada para o volume molar líquido do propano a temperaturas próximas (ordem de algumas dezenas a poucas centenas de \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}}); pequenas diferenças nas constantes críticas ou no Z_c mudariam o resultado em alguns por cento.

Resposta

V_m^{\text{liq}}\approx 8{,}14\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}} = 81{,}4\\ \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}}

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