Um projeto de um gaseoduto para distribuição de gás natural prevê a utilização de um compressores centrífugos de alta potência. O diâmetro do gaseoduto mede 0,2 m. Na entrada de cada compressor, a temperatura do gás mede 300 K , a pressão 105 kPa e a velocidade 4 m / s. O processo de compressão é isoentrópico e a pressão de saída deve ser 700 kPa . Suponha que o gás é o metano, considerado como gás ideal com gamma=1,32 e R=0,52 kJ / kg K. Qual a variação da entropia do gás se a eficiência mecânica [isoentrópica] do compressor for 75 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre um gaseoduto que transporta gás natural usando compressores centrífugos. A gente precisa descobrir quanto a entropia do gás muda durante o processo de compressão. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre processos isoentrópicos e eficiência dos compressores. Vamos precisar das propriedades do metano como gás ideal, os dados fornecidos sobre pressão, temperatura, velocidade e o diâmetro do gaseoduto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um processo isoentrópico. Isoentrópico quer dizer que não há variação de entropia no processo ideal, ou seja, o processo é perfeitamente reversível e adiabático (sem troca de calor). Porém, na prática, os compressores não são 100% eficientes. A eficiência mecânica isoentrópica nos diz o quanto o processo real se aproxima do ideal.

Passo 3

A eficiência isoentrópica ( eta) é definida como a razão entre o trabalho mínimo necessário para comprimir o gás de forma isoentrópica e o trabalho real realizado pelo compressor. No nosso caso, a eficiência é de 75%, ou seja, $ \eta = 0,75 $.

Passo 4

Para encontrar a variação de entropia ( De), precisamos comparar o processo real com o ideal. No processo ideal isoentrópico, a entropia não muda ( De). Mas como a eficiência é menor que 100%, há geração de entropia devido às irreversibilidades no compressor.

Passo 5

Vamos utilizar a fórmula da variação de entropia para um gás ideal em um processo de compressão:
De
Onde:
  • $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante.
  • $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas de entrada e saída.
  • $ P_1 $ e $ P_2 $ são as pressões de entrada e saída.
  • $ R $ é a constante dos gases.

Passo 6

Primeiro, precisamos encontrar $ C_p $. Sabemos que $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $ e $ R = C_p - C_v $. Rearranjando:
Cp
Substituindo os valores dados ($ \gamma = 1,32 $ e $ R = 0,52 , kJ/kg·K $):
gamma = CpCv

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a temperatura de saída $ T_2 $. Para isso, usamos a eficiência isoentrópica:
T2
Onde $ T_{2s} $ é a temperatura de saída no processo isoentrópico ideal. Rearranjando:
eta = T2s - T1T2 - T1
Mas primeiro, encontramos $ T_{2s} $ usando a relação de processos isoentrópicos:
T2s
Substituindo os valores ($ P_2 = 700 , kPa $, $ P_1 = 105 , kPa $):
T2s = T1 + eta (T2 - T1)
Então,
T2s

Passo 8

Agora, usando a eficiência:
0,75 = 496,2 - 300T2 - 300
Resolvendo para $ T_2 $:
T2

Passo 9

Com $ T_2 $ encontrado, podemos calcular a variação de entropia:
T2
Calculando cada termo:
De
Então,
ln(561,6300) approx ln(1,872) approx 0,627 ln(700105) approx ln(6,6667) approx 1,897

Resposta

A variação da entropia do gás é aproximadamente $ 0,359 , kJ/kg·K $.

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