Um tubo vertical com 0,125 m de diâmetro, longo e isolado, é aberto no topo e fechado no fundo. O tubo contém 0,015 m^3 de vapor a 5 MPa e 400^circ C, mantidos no fundo por meio de uma bucha com massa de 40 kg , presa por um pino. Retirado o pino, o vapor expande-se vagarosamente, acelerando a bucha para cima. Quando a bucha atinge o topo do tubo, a pressão do vapor é 600 kPa . Determine a velocidade de saída da bucha.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um tubo vertical de diâmetro 0,125 , m, aberto no topo e fechado no fundo. Dentro desse tubo, há vapor com volume de 0,015 , m^3, pressão de 5 , MPa e temperatura de 400^circ C. Esse vapor está sustentando uma bucha com massa de 40 kg, que é mantida no lugar por um pino. Quando retiramos o pino, o vapor se expande lentamente e a bucha é acelerada para cima até atingir o topo do tubo, onde a pressão do vapor é de 600 , kPa.
Conteúdo da matéria:
  • Termodinâmica (leis dos gases, expansão do vapor)
  • Mecânica (forças, aceleração, velocidade)
O que vamos precisar:
  • Relação entre pressão, força e área
  • Equação de movimento (segunda lei de Newton)
  • Conversão de unidades se necessário

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do tubo. O diâmetro do tubo é 0,125 , m, então o raio r é metade disso:
r = 0,125 , m2 = 0,0625 , m
A área A de um círculo é dada por:
A = pi r^2
Substituindo o valor de r:
A = pi (0,0625)^2 approx 0,01227 , m^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a força exercida pelo vapor sobre a bucha antes e depois da expansão.
A força F é dada pela pressão P multiplicada pela área A:
F = P times A
Antes da expansão:
Pressão inicial P1 = 5 , MPa = 5 times 10^6 , Pa.
F1 = 5 times 10^6 , Pa times 0,01227 , m^2 approx 61350 , N
Depois da expansão:
Pressão final P2 = 600 , kPa = 600 times 10^3 , Pa.
F2 = 600 times 10^3 , Pa times 0,01227 , m^2 approx 7362 , N

Passo 4

A diferença de força De que atua na bucha é:
De
Essa força é responsável por acelerar a bucha.

Passo 5

Aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração:
F = m times a
Queremos encontrar a aceleração a:
a = Fm
A massa da bucha m = 40 , kg:
a = 53988 , N40 , kg = 1349,7 , m/s^2

Passo 6

Agora, precisamos determinar a velocidade final da bucha quando ela atinge o topo do tubo. Vamos supor que o tubo tem uma altura suficiente para a expansão completa do vapor até a pressão final.
Usamos a equação de movimento uniforme acelerado, onde a velocidade final v é:
v^2 = v0^2 + 2 a s
Assumindo que a bucha parte do repouso ( v0 = 0):
v = raiz2 a s
Mas como não foi fornecida a altura s do tubo, precisamos relacionar isso com o volume de vapor e a expansão.

Passo 7

O volume do vapor inicial V1 = 0,015 , m^3 e a pressão inicial P1 = 5 , MPa.
Durante a expansão, a pressão final P2 = 600 , kPa. Assumindo que a temperatura permanece constante (processo isotérmico), podemos usar a relação de Boyle:
P1 V1 = P2 V2
Resolvendo para V2:
V2 = P1 V1P2 = 5 times 10^6 times 0,015600 times 10^3 = 0,125 , m^3
A variação de volume De.

Passo 8

A variação de volume está relacionada à altura s que a bucha sobe no tubo:
De
Resolvendo para s:
s = De

Passo 9

Agora que temos a aceleração a = 1349,7 , m/s^2 e a distância s = 8,98 , m, podemos calcular a velocidade final v:
v = raiz2 times 1349,7 times 8,98 approx raiz24253,2 approx 155,74 , m/s

Resposta

A velocidade de saída da bucha é aproximadamente 155,74 , m/s.

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