Um tubo vertical com
de diâmetro, longo e isolado, é aberto no topo e fechado no fundo. O tubo contém
de vapor a 5 MPa e
, mantidos no fundo por meio de uma bucha com massa de 40 kg , presa por um pino. Retirado o pino, o vapor expande-se vagarosamente, acelerando a bucha para cima. Quando a bucha atinge o topo do tubo, a pressão do vapor é 600 kPa . Determine a velocidade de saída da bucha.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um tubo vertical de diâmetro
, aberto no topo e fechado no fundo. Dentro desse tubo, há vapor com volume de
, pressão de
e temperatura de
. Esse vapor está sustentando uma bucha com massa de 40 kg, que é mantida no lugar por um pino. Quando retiramos o pino, o vapor se expande lentamente e a bucha é acelerada para cima até atingir o topo do tubo, onde a pressão do vapor é de
.
Conteúdo da matéria:
- Termodinâmica (leis dos gases, expansão do vapor)
- Mecânica (forças, aceleração, velocidade)
O que vamos precisar:
- Relação entre pressão, força e área
- Equação de movimento (segunda lei de Newton)
- Conversão de unidades se necessário
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do tubo. O diâmetro do tubo é
, então o raio
é metade disso:
A área
de um círculo é dada por:
Substituindo o valor de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a força exercida pelo vapor sobre a bucha antes e depois da expansão.
A força
é dada pela pressão
multiplicada pela área
:
Antes da expansão:
Pressão inicial
.
Depois da expansão:
Pressão final
.
Passo 4
A diferença de força
que atua na bucha é:
Essa força é responsável por acelerar a bucha.
Passo 5
Aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração:
Queremos encontrar a aceleração
:
A massa da bucha
:
Passo 6
Agora, precisamos determinar a velocidade final da bucha quando ela atinge o topo do tubo. Vamos supor que o tubo tem uma altura suficiente para a expansão completa do vapor até a pressão final.
Usamos a equação de movimento uniforme acelerado, onde a velocidade final
é:
Assumindo que a bucha parte do repouso (
):
Mas como não foi fornecida a altura
do tubo, precisamos relacionar isso com o volume de vapor e a expansão.
Passo 7
O volume do vapor inicial
e a pressão inicial
.
Durante a expansão, a pressão final
. Assumindo que a temperatura permanece constante (processo isotérmico), podemos usar a relação de Boyle:
Resolvendo para
:
A variação de volume
.
Passo 8
A variação de volume está relacionada à altura
que a bucha sobe no tubo:
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora que temos a aceleração
e a distância
, podemos calcular a velocidade final
:
Resposta
A velocidade de saída da bucha é aproximadamente
.