O projeto de uma usina de potência líquida de 1 MW utilizando uma turbina a gás funcionando por um ciclo Brayton simples, ideal e com ar como fluido de trabalho, tem como objetivo uma eficiência de 50 \%. Sabe-se que o ar entra no compressor com uma pressão de 100 kPa (pressão atmosférica) e a uma temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} e que o ar deve entrar na turbina a uma temperatura de 727^{\circ} \mathrm{C}. Determine: (a) a pressão do ar na entrada da turbina (b) a vazão mássica de ar (c) a taxa de calor adicionado ao ciclo (d) vazão volumétrica de ar na entrada da turbina.
Dados: \mathrm{R}=0,287 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ; \mathrm{cp}=1,005 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kgK} ; \mathrm{k}=1,4.
(a) 1131 kPa
(b) 4,97 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}
(c) 2000 kW
(d) 4,284 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Potência líquida desejada: \dot{W}_{\text{net}} = 1{,}0\\ \mathrm{MW} = 1000\\ \mathrm{kW}.
    • Eficiência térmica do ciclo (meta): \eta = 0{,}50.
    • Pressão e temperatura na entrada do compressor (condições iniciais do ar):
      • P_1 = 100\\ \mathrm{kPa}.
      • T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura na entrada da turbina:
      • T_3 = 727^\circ\mathrm{C} = 1000\\ \mathrm{K}.
    • Propriedades do ar (assumidas constantes):
      • R = 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
      • c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
      • k = 1{,}4.
  • O que se pede:
    (a) pressão do ar na entrada da turbina P_3 (isto é, pressão após o compressor);
    (b) vazão mássica de ar \dot{m};
    (c) taxa de calor adicionada ao ciclo \dot{Q}_{\text{in}};
    (d) vazão volumétrica do ar na entrada (iremos calcular a vazão volumétrica usando as condições de entrada do compressor, que é o modo usual de expressar vazão volumétrica de admissão).

Passo 2

Conceitos e relações do ciclo Brayton ideal (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Definir razão de pressões (razão de compressão): r_p = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_3}{P_1},pois, em ciclo Brayton simples ideal sem perdas, a pressão após o compressor P_2 é a pressão de entrada da turbina P_3.
  • Para compressão e expansão isotérmicas reversíveis (isentrópicas, com k constante) vale a relação isentrópica entre temperaturas e pressões: \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} \qquad\text{e}\qquad \frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{k-1}{k}}.É útil definir a \equiv r_p^{\frac{k-1}{k}},assim T_2 = T_1 a e T_4 = \dfrac{T_3}{a}.
  • Calores e trabalhos por unidade de massa (ar tratado como gás perfeito com c_p constante):
    • Calor adicionado por unidade de massa: q_{\text{in}} = c_p (T_3 - T_2).
    • Trabalho do compressor por unidade de massa: w_{\text{comp}} = c_p (T_2 - T_1).
    • Trabalho da turbina por unidade de massa: w_{\text{turb}} = c_p (T_3 - T_4).
    • Trabalho líquido por unidade de massa: w_{\text{net}} = w_{\text{turb}} - w_{\text{comp}} = c_p\bigl[T_3(1-\tfrac{1}{a}) - T_1(a-1)\bigr].
  • Eficiência térmica do ciclo Brayton ideal (substituindo as expressões acima e simplificando) fica dependente apenas de r_p e k: \eta = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} = 1 - \frac{1}{a} = 1 - r_p^{-\frac{k-1}{k}}.Esta fórmula é muito importante: para o ciclo Brayton ideal (com processos isentrópicos), a eficiência depende só de r_p e k, não diretamente de T_1 ou T_3.

Passo 3

Determinar a razão de compressão r_p a partir da eficiência desejada.
  • Usar a fórmula \eta = 1 - r_p^{-\frac{k-1}{k}}.Colocando \eta = 0{,}50: r_p^{-\frac{k-1}{k}} = 1 - \eta = 0{,}50.Invertendo, r_p^{\frac{k-1}{k}} = 2.Tomando exponência inversa, r_p = 2^{\frac{k}{\,k-1\,}}.
  • Substituindo k = 1{,}4: \frac{k}{k-1} = \frac{1{,}4}{0{,}4} = 3{,}5,
r_p = 2^{3{,}5} = 2^{3}\cdot 2^{0{,}5} = 8\cdot\sqrt{2} \approx 11{,}3137085.
  • Pressão de entrada da turbina (que é P_3 = P_2 = r_p P_1): P_3 = r_p P_1 = 11{,}3137085 \times 100\\ \mathrm{kPa} \approx 1131{,}37\\ \mathrm{kPa}.Com arredondamento apropriado: P_3 \approx 1131\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular temperaturas nos estados intermediários (aplicando relações isentrópicas).
  • Lembrando a = r_p^{\frac{k-1}{k}}. Já obtivemos a = 2 (porque r_p^{(k-1)/k} = 2 foi a equação usada).
  • Então T_2 = T_1 a = 300\\ \mathrm{K}\times 2 = 600\\ \mathrm{K},
T_4 = \frac{T_3}{a} = \frac{1000\\ \mathrm{K}}{2} = 500\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular o calor adicionado por unidade de massa q_{\text{in}}.
  • Fórmula: q_{\text{in}} = c_p (T_3 - T_2).
  • Substituindo números: q_{\text{in}} = 1{,}005\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\,K}}\times (1000 - 600)\\ \mathrm{K} = 1{,}005\times 400\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg}} = 402{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular o trabalho líquido específico w_{\text{net}} e a vazão mássica \dot{m}.
  • Trabalho líquido por unidade de massa: w_{\text{net}} = c_p\bigl[T_3(1-\tfrac{1}{a}) - T_1(a-1)\bigr].Com a=2: w_{\text{net}} = 1{,}005\bigl[1000(1-\tfrac{1}{2}) - 300(2-1)\bigr] = 1{,}005\bigl[1000\tfrac{1}{2} - 300\bigr] = 1{,}005(500 - 300) = 1{,}005\times 200 = 201{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Como \dot{W}_{\text{net}} = \dot{m}\, w_{\text{net}}, obtemos a vazão mássica: \dot{m} = \frac{\dot{W}_{\text{net}}}{w_{\text{net}}} = \frac{1000\\ \mathrm{kW}}{201{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}} = \frac{1000\\ \mathrm{kJ/s}}{201{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}} \approx 4{,}975\\ \mathrm{kg/s}.Arredondando conforme pedido: \dot{m} \approx 4{,}97\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Calcular a taxa de calor adicionada total \dot{Q}_{\text{in}}.
  • \dot{Q}_{\text{in}} = \dot{m}\, q_{\text{in}}.
  • Substituindo: \dot{Q}_{\text{in}} = 4{,}975\\ \mathrm{kg/s}\times 402{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} \approx 2000\\ \mathrm{kW}.(Confirma que a eficiência \eta = \dfrac{\dot{W}_{\text{net}}}{\dot{Q}_{\text{in}}} = \dfrac{1000}{2000} = 0{,}5.)

Passo 8

Calcular a vazão volumétrica na entrada (usarei as condições de admissão P_1,T_1, que é o modo usual de reportar vazão volumétrica de admissão).
  • Densidade do ar pela equação dos gases perfeitos: \rho_1 = \frac{P_1}{R T_1}.Cuidado com unidades: P_1 em \mathrm{kPa}, R em \mathrm{kJ/(kg\,K)} (lembrar que 1\\ \mathrm{kJ} = 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}), e T_1 em \mathrm{K}. Assim o resultado dá \mathrm{kg/m^3}.
  • Substituindo: \rho_1 = \frac{100\\ \mathrm{kPa}}{0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}\times 300\\ \mathrm{K}} = \frac{100}{0{,}287\times 300} = \frac{100}{86{,}1}\approx 1{,}161\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • A vazão volumétrica na entrada é \dot{V}_1 = \frac{\dot{m}}{\rho_1} = \frac{4{,}975\\ \mathrm{kg/s}}{1{,}161\\ \mathrm{kg/m^3}} \approx 4{,}284\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

(a) 1131\\ \mathrm{kPa}
(b) 4{,}97\\ \mathrm{kg/s}
(c) 2000\\ \mathrm{kW}
(d) 4{,}284\\ \mathrm{m^3/s}

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