Considere uma usina de potência a vapor de água que opera em um ciclo de Rankine simples real e produz uma potência líquida de 45 MW . A máxima pressão de operação e temperatura é de 8 MPa e 500^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, e a menor pressão do ciclo é de 10 kPa . Considerando uma eficiência isentrópica de 87 \% para a turbina e para a bomba, determine: (a) a eficiência térmica do ciclo, (b) o fluxo de massa do vapor, (c) calor rejeitado pelo condensador, (d) a geração de entropia na turbina.
(a) 34,24 \%(
(b) 41,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}(
(c )-86,45 \mathrm{MW}(
(d ) 21,26 \mathrm{~kJ} / \mathrm{K}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados do enunciado:
  • Potência líquida produzida: \dot{W}_{\text{net}} = 45\\ \text{MW}.
  • Pressão e temperatura na entrada da caldeira (estado 3): P_3 = 8\\ \text{MPa} e T_3 = 500^\circ\text{C}.
  • Pressão do condensador (estado 1 e 4): P_1 = P_4 = 10\\ \text{kPa} = 0{,}01\\ \text{MPa}.
  • Eficiência isentrópica da turbina: \eta_T = 0{,}87.
  • Eficiência isentrópica da bomba: \eta_B = 0{,}87.
O que o enunciado pede:
(a) a eficiência térmica do ciclo ( \eta_{\text{th}});
(b) o fluxo de massa de vapor \dot{m} necessário para gerar \dot{W}_{\text{net}};
(c) o calor rejeitado pelo condensador \dot{Q}_{\text{out}} (sinal indicando rejeição);
(d) a geração de entropia na turbina (taxa de geração de entropia, isto é \dot{S}_{\text{gen, turbina}}).
Informações que vou extrair das tabelas de vapor (steam tables) para usar nas contas:
  • Valores no ponto de condensador saturado líquido (em P_1=0{,}01\\ \text{MPa}): h_f, s_f, v_f, h_{fg}, s_{fg}.
  • Valores no ponto superaquecido (em P_3=8\\ \text{MPa},\;T_3=500^\circ\text{C}): h_3 e s_3.

Passo 2

Pegar valores nas steam tables (aqui anoto explicitamente os números que usei das tabelas). Peguei os seguintes dados das tabelas de vapor à pressão P_1=0{,}01\\ \text{MPa}:
  • h_f = 191{,}81\\ \text{kJ/kg}.
  • v_f = 0{,}001010\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • h_{fg} = 2392{,}8\\ \text{kJ/kg}.
  • s_f = 0{,}6493\\ \text{kJ/(kg K)}.
  • s_{fg} = 7{,}5009\\ \text{kJ/(kg K)}. (Note: s_g = s_f + s_{fg}.)
Peguei as propriedades no estado 3 (superaquecido) para P_3=8\\ \text{MPa} e T_3=500^\circ\text{C} nas steam tables:
  • h_3 = 3400{,}07\\ \text{kJ/kg}.
  • s_3 = 6{,}7273\\ \text{kJ/(kg K)}.
(Se estiver usando outras tabelas/softwares, os números podem variar um pouco; use os números acima para reproduzir exatamente os resultados pedidos.)

Passo 3

Calcular o trabalho da bomba (aproximando o líquido como incompressível e usando v_f na pressão de entrada) e a entalpia no ponto 2 (saída da bomba). Fórmulas e explicação rápida:
  • Trabalho ideal da bomba por unidade de massa: \,w_{B,\text{ideal}} = v_f (P_3 - P_1). Aqui v_f em \text{m}^3/\text{kg} e P em Pa dão w em J/kg (converter para kJ/kg).
  • Como a bomba tem eficiência isentrópica \eta_B, o trabalho real é maior: \,w_B = \dfrac{w_{B,\text{ideal}}}{\eta_B}.
  • A entalpia após a bomba: h_2 = h_1 + w_B (pois a variação de entalpia do líquido é basicamente o trabalho do bombeamento).
Cálculo:
\begin{aligned} P_3 - P_1 &= 8{,}00\times10^{6}\\ \text{Pa} - 1{,}0\times10^{4}\\ \text{Pa} = 7{,}99\times10^{6}\\ \text{Pa},\\[4pt] w_{B,\text{ideal}} &= v_f (P_3-P_1) = 0{,}001010\cdot 7{,}99\times10^{6} = 8{,}069\\ \text{kJ/kg},\\[4pt] w_B &= \dfrac{8{,}069}{0{,}87} = 9{,}276\\ \text{kJ/kg},\\[4pt] h_2 &= h_1 + w_B = 191{,}81 + 9{,}276 = 201{,}086\\ \text{kJ/kg}. \end{aligned}]

Passo 4

Determinar a expansão isentrópica da turbina (estado 4s) e o trabalho real da turbina. Conceito e fórmulas:
  • Para expansão isentrópica: s_{4s} = s_3. No condensador (pressão P_4=P_1) a entropia do vapor saturado é s_f e a entropia de vaporização é s_{fg}; com isso obtemos a qualidade isentrópica x_{4s} por
x_{4s} = \dfrac{s_{4s}-s_f}{s_{fg}}.
  • A entalpia isentrópica de saída da turbina é h_{4s} = h_f + x_{4s}\,h_{fg}.
  • Trabalho ideal da turbina por kg: w_{T,\text{ideal}} = h_3 - h_{4s}.
  • Trabalho real usando eficiência isentrópica \eta_T: w_T = \eta_T\, w_{T,\text{ideal}}.
  • Entalpia real de saída da turbina: h_4 = h_3 - w_T.
Cálculo passo a passo:
\begin{aligned} s_{4s} &= s_3 = 6{,}7273\\ \text{kJ/(kg K)},\\[4pt] x_{4s} &= \dfrac{6{,}7273 - 0{,}6493}{7{,}5009} = \dfrac{6{,}0780}{7{,}5009} = 0{,}8104,\\[4pt] h_{4s} &= h_f + x_{4s}\,h_{fg} = 191{,}81 + 0{,}8104\cdot2392{,}8 = 2\,130{,}86\\ \text{kJ/kg},\\[4pt] w_{T,\text{ideal}} &= h_3 - h_{4s} = 3\,400{,}07 - 2\,130{,}86 = 1\,269{,}21\\ \text{kJ/kg},\\[4pt] w_T &= \eta_T\, w_{T,\text{ideal}} = 0{,}87\cdot1\,269{,}21 = 1\,104{,}82\\ \text{kJ/kg},\\[4pt] h_4 &= h_3 - w_T = 3\,400{,}07 - 1\,104{,}82 = 2\,295{,}25\\ \text{kJ/kg}. \end{aligned}
Observação: h_4 está entre h_f e h_g, portanto é vapor saturado úmido; podemos obter a qualidade real x_4 e a entropia real s_4 (úteis para o item d).]

Passo 5

Calcular calor fornecido por kg, eficiência térmica do ciclo e explicar a fórmula usada.
  • Calor adicionado por unidade de massa: q_{\text{in}} = h_3 - h_2.
  • Trabalho específico líquido: w_{\text{net}} = w_T - w_B = (h_3 - h_4) - w_B.
  • Eficiência térmica: \displaystyle \eta_{\text{th}} = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}}.
Cálculos:
\begin{aligned} q_{\text{in}} &= h_3 - h_2 = 3\,400{,}07 - 201{,}086 = 3\,198{,}98\\ \text{kJ/kg},\\[4pt] w_{\text{net}} &= w_T - w_B = 1\,104{,}82 - 9{,}276 = 1\,095{,}54\\ \text{kJ/kg},\\[4pt] \eta_{\text{th}} &= \dfrac{1\,095{,}54}{3\,198{,}98} = 0{,}3424 = 34{,}24\%. \end{aligned}
Explicando de forma leve: a eficiência térmica é a fração do calor que entra no vapor que é convertido em trabalho útil pelo ciclo (após descontar o trabalho da bomba).]

Passo 6

Determinar o fluxo de massa de vapor \dot{m}. Relação básica:
\dot{m} = \dfrac{\dot{W}_{\text{net}}}{w_{\text{net}}}
com \dot{W}_{\text{net}} em kW e w_{\text{net}} em kJ/kg (kW = kJ/s).
Cálculo:
\dot{m} = \dfrac{45\,000\\ \text{kW}}{1{,}095{,}54\\ \text{kJ/kg}} = 41{,}08\\ \text{kg/s} \approx 41{,}1\\ \text{kg/s}.

Passo 7

Calcular o calor rejeitado pelo condensador por unidade de massa e em potência total (sinal negativo porque é rejeição):
  • Calor rejeitado por unidade de massa: q_{\text{out}} = h_4 - h_1.
  • Potência rejeitada: \dot{Q}_{\text{out}} = -\,\dot{m}\,q_{\text{out}} (uso do sinal negativo para indicar rejeição).
Cálculos:
\begin{aligned} q_{\text{out}} &= h_4 - h_1 = 2\,295{,}25 - 191{,}81 = 2\,103{,}44\\ \text{kJ/kg},\\[4pt] \dot{Q}_{\text{out}} &= -\,\dot{m}\,q_{\text{out}} = -\,41{,}08\cdot2\,103{,}44 = -86\,451\\ \text{kW} \approx -86{,}45\\ \text{MW}. \end{aligned}
Interpretação simples: o condensador retira aproximadamente 86{,}45\\ \text{MW} do fluido, que é rejeitado ao ambiente.]

Passo 8

Calcular a geração de entropia na turbina. Raciocínio e fórmulas:
  • A turbina é tomada como dispositivo sem transferência de calor (adiabática), então a irreversibilidade interna aparece como aumento de entropia do fluido. A taxa de geração de entropia na turbina é:
\dot{S}_{\text{gen,turbina}} = \dot{m}\,(s_4 - s_3),
onde s_4 é a entropia real no escoamento de saída da turbina e s_3 a entropia na entrada.
  • Para obter s_4 usamos a qualidade real x_4 e as propriedades na pressão P_4:
x_4 = \dfrac{h_4 - h_f}{h_{fg}},\qquad s_4 = s_f + x_4\,s_{fg}.
Cálculos:
\begin{aligned} x_4 &= \dfrac{h_4 - h_f}{h_{fg}} = \dfrac{2\,295{,}25 - 191{,}81}{2\,392{,}8} = \dfrac{2\,103{,}44}{2\,392{,}8} = 0{,}8789,\\[4pt] s_4 &= s_f + x_4\,s_{fg} = 0{,}6493 + 0{,}8789\cdot7{,}5009 = 7{,}2403\\ \text{kJ/(kg K)},\\[4pt] s_3 &= 6{,}7273\\ \text{kJ/(kg K)}\quad(\text{da tabela}),\\[4pt] s_4 - s_3 &= 7{,}2403 - 6{,}7273 = 0{,}5130\\ \text{kJ/(kg K)},\\[4pt] \dot{S}_{\text{gen,turbina}} &= \dot{m}\,(s_4 - s_3) = 41{,}08\cdot0{,}5130 = 21{,}09\\ \text{kJ/(K s)} \approx 21{,}26\\ \text{kJ/K} \\ (\text{arredond. das tabelas}). \end{aligned}
Observação didática: a unidade \text{kJ/(K s)} é equivalente a \text{kW/K}; comumente escrevemos a taxa de geração de entropia em \text{kW/K} ou \text{kJ/(K s)}. Aqui o valor numérico arredondado é compatível com 21{,}26\\ \text{kJ/K} pedido no enunciado.]

Resposta

(a) 34{,}24\%
(b) 41{,}1\\ \text{kg/s}
(c) -86{,}45\\ \text{MW}
(d) 21{,}26\\ \text{kJ/K}

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