é necessário que o termo extra envolvendo dP desapareça. Existem basicamente duas maneiras distintas de isso acontecer: (i) anular dP (isto é, manter P constante ao longo do processo), ou (ii) anular o coeficiente que multiplica dP (isto é, fazer \left(\partial M/\partial P\right)_{T}=0). Vamos tratar cada caso com calma.
Passo 3
Se o processo acontece a pressão constante, então ao longo do processo dP=0. Substituindo isso no diferencial total:
Interpretação simples e prática: se aquece a substância mantendo a pressão fixa (processo isobárico), a variação de M é dada por essa integral. Exemplo comum: para muitas substâncias a entalpia H a pressão constante satisfaz \Delta H=\int_{T_1}^{T_2}C_P\,dT (aqui C_P=(\partial H/\partial T)_P).
Passo 4
Outra maneira de o termo envolvendo dP desaparecer é se o coeficiente for zero:
independentemente de dP. Ou seja, mesmo que a pressão mude durante o processo, o termo em dP não contribui porque a derivada parcial é zero. Integrando:
Significado físico: a propriedade M realmente não depende de P, apenas de T (escreve-se M=M(T)). Exemplo: no modelo de gás ideal, a energia interna U depende apenas de T (para um gás ideal perfeito sem interações), então \Delta U=\int_{T_1}^{T_2}(\partial U/\partial T)_P\,dT vale mesmo se a pressão variar durante o aquecimento.
Passo 5
A primeira condição (isobárica) é uma restrição ao processo: a igualdade vale porque dP=0 ao longo do caminho.
A segunda condição é uma propriedade da substância: vale para qualquer processo porque M não depende de P.
Ambas são condições suficientes para que a fórmula dada seja verdadeira; uma é sobre o caminho termodinâmico, a outra é sobre a dependência funcional de M.
Resposta
Processo isobárico: P constante ao longo do processo (ou seja dP=0).
Propriedade independente de P: \displaystyle\left(\frac{\partial M}{\partial P}\right)_{T}=0 (ou seja M=M(T)).