Prove que
Para um gás ideal com capacidades caloríficas constantes, utilize esse resultado para deduzir a Eq. (3.23c).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Provar a identidade
- Para um gás ideal com capacidades caloríficas constantes, usar esse resultado para deduzir a equação (3.23c) (a forma de
que envolve , e ).
Informações e quantidades que vamos usar (definições que o enunciado assume conhecidas):
-
é entropia; temperatura; pressão; volume. -
e são as capacidades caloríficas (por quantidade de substância adotada) a volume e pressão constantes, respectivamente. - Definições das capacidades:
- Maxwell útil:
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever
em função das variáveis naturais
e
.
Como
, pela diferencial total e usando as definições de
e da relação de Maxwell:
Substituindo
e
obtemos imediatamente
Comentário didático curto: essa é uma identidade padrão. A primeira parcela vem do fato de que
mede a variação de entropia com
a
fixo; a segunda vem da relação de Maxwell que liga variações de
com
às variações de
com
.
Passo 3
Queremos a forma com diferenciais
e
. Para isso escrevemos a diferencial total de
como função de
e
:
Substituímos essa expressão em
. Fazendo a substituição temos
Agora agrupamos os termos multiplicando
:
Passo 4
Falta mostrar que o coeficiente de
na expressão acima é igual a
. Ou seja, precisamos provar a identidade escalar
Rearranjando, isto equivale a
Agora vamos demonstrar a identidade bem conhecida
e então usar que
.
Derivação dessa identidade:
- Definição:
. - Use regra da cadeia para
visto como variação em com fixo: - Multiplicando por
e substituindo e (Maxwell), obtemos - Portanto
Multiplicando ambos os lados por
(que é o inverso de
) resulta exatamente em
que é a identidade que precisávamos.
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 3, substituindo o resultado do Passo 4 obtemos
Isso conclui a prova da identidade pedida.
Passo 6
Agora aplicamos o resultado a um gás ideal com capacidades caloríficas constantes. Para um gás ideal (por mol, com constante dos gases
) vale a equação de estado
Dessa relação segue diretamente que, vistas como funções de
,
Também, para gás ideal com capacidades constantes vale a conhecida relação
Passo 7
Substituindo
e
na identidade do Passo 5, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
:
Usamos agora a identidade do gás ideal em diferencial:
, isto é
Substituímos
na expressão anterior:
Distribuindo:
O termo entre parênteses simplifica usando
:
Logo
Dividindo por
dá
Usando novamente
(do gás ideal
) obtemos a forma conveniente
Passo 8
Integramos essa diferencial entre dois estados
e
(assumindo
constante):
Esta é exatamente a forma habitual da equação (3.23c) para o gás ideal com
constante.