Provar que (partial Gpartial P)T=V. Considere que G=G(T, P) e sua equação fundamental.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a energia livre de Gibbs G=G(T,P), vale
(partial Gpartial P)T=V
O conteúdo que vamos usar é a definição de G em termos de outras variáveis termodinâmicas e a combinação da primeira e segunda leis (o que chamamos de equação fundamental).

Passo 2

Relembrando a equação fundamental para um processo reversível em um sistema fechadíssimo e simples, temos a forma diferencial da energia interna
dU = T,dS - P,dV
Essa é a combinação da primeira lei ( dU=de<a Q-de<a W) com de<a Q=T,dS e de<a W=P,dV.

Passo 3

A energia livre de Gibbs é definida por
G = U + P,V - T,S
Agora vamos diferenciar G em função de S, V, T e P:
dG = dU + P,dV + V,dP - T,dS - S,dT

Passo 4

Substituindo dU = T,dS - P,dV na expressão de dG,
dG = l(T,dS - P,dVr) + P,dV + V,dP - T,dS - S,dT
Cancelam-se T,dS com -T,dS e -P,dV com +P,dV, sobrando
dG = V,dP ;-; S,dT

Passo 5

Por outro lado, como G é função de (T,P), por definição de derivada parcial escrevemos
dG = l(partial Gpartial Tr)P dT ;+;l(partial Gpartial Pr)T dP
Comparando com
dG = -S,dT + V,dP,
vemos que
l(partial Gpartial Pr)T = V e l(partial Gpartial Tr)P = -S

Resposta

(partial Gpartial P)T=V

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