Avaliar se a função u(x, y)=x y+f(x) atende o critério de diferencial exata. Note que f(x) é uma função não especificada de x.
R: sim

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a forma diferencial
du = partial upartial x,dx + partial upartial y,dy
associada a
u(x,y)=x,y + f(x)
é exata. Em cálculo de equações diferenciais, usamos o critério de exatidão para uma forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy
ser exata, que exige
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = partial upartial x e N(x,y) = partial upartial y
Como
u(x,y) = x,y + f(x),
temos
M(x,y) = y + f'(x),
N(x,y) = x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias ao critério:
partial Mpartial y = partialpartial yl(y + f'(x)r) = 1,
partial Npartial x = partialpartial x(x) = 1

Passo 4

Como
partial Mpartial y = 1 e partial Npartial x = 1,
o critério de exatidão está satisfeito para qualquer função f(x). Portanto, a forma diferencial é exata.

Resposta

Sim.

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