Prove as seguintes relações para um fluido simples:
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v}=c_{p}-T v \alpha\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos à mão.
  • Pede provar a relação
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v}=c_{p}-T v \alpha\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.
  • Informações/definições que vamos usar (essas vêm do enunciado implícito para um fluido simples):
    • s é a entropia específica, v é o volume específico, T a temperatura e p a pressão.
    • Capacidade térmica a pressão constante por unidade de massa:
    c_{p}=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p}.
    • Coeficiente de dilatação térmica (isobárico) por unidade de volume:
    \alpha=\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.
  • O enunciado pede uma prova matemática; não é necessário usar uma equação numérica ou um gráfico.

Passo 2

Expressar \left(\dfrac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} usando derivadas parciais em variáveis convenientes (regra da cadeia).
  • A entropia pode ser vista como função de (T,p): s=s(T,p). Se queremos a derivada de s em que v é mantido fixo, então, ao variar T com v fixo, a pressão p em geral muda com T. Pela regra da cadeia:
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} = \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p} + \left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.
  • Multiplicando por T (porque a relação final tem T multiplicando essa derivada):
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} = T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p} + T\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.

Passo 3

Reconhecer a primeira parcela como c_{p}.
  • Pela definição dada em Passo 1:
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p}=c_{p}.
  • Substituindo na expressão do Passo 2:
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} = c_{p} + T\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.

Passo 4

Encontrar \left(\dfrac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} por meio de uma relação de Maxwell (usar energia de Gibbs).
  • Defina a energia livre de Gibbs específica g por unidade de massa como
g = u + p v - T s,
onde u é a energia interna específica. A diferencial exata de g, considerando g=g(T,p), é
\mathrm{d}g = v\,\mathrm{d}p - s\,\mathrm{d}T.
  • Dessa expressão obtemos as derivadas parciais naturais:
\left(\frac{\partial g}{\partial p}\right)_{T}=v, \qquad \left(\frac{\partial g}{\partial T}\right)_{p}=-s.
  • Igualando derivadas mistas (a ordem das diferenciações não importa para g bem comportada):
\frac{\partial}{\partial T}\!\left(\frac{\partial g}{\partial p}\right)_{T} = \frac{\partial}{\partial p}\!\left(\frac{\partial g}{\partial T}\right)_{p}.
  • Substituindo as expressões acima:
\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} = -\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}.
  • Portanto chegamos à relação de Maxwell desejada:
\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} = - \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.

Passo 5

Relacionar \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} com \alpha e substituir na expressão.
  • Pela definição de \alpha dada no Passo 1:
\alpha=\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}=v\alpha.
  • Usando a relação de Maxwell do Passo 4:
\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}=-v\alpha.

Passo 6

Substituir \left(\dfrac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}=-v\alpha na expressão do Passo 3 e concluir.
  • Relembre do Passo 3:
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} = c_{p} + T\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.
  • Substituindo \left(\dfrac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}=-v\alpha:
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} = c_{p} + T\bigl(-v\alpha\bigr) \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.
  • Simplificando o sinal:
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} = c_{p} - T v \alpha \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.

Resposta

T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v}=c_{p}-T v \alpha\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}

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