Prove as seguintes relações para um fluido simples:
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos à mão.
- Pede provar a relação
- Informações/definições que vamos usar (essas vêm do enunciado implícito para um fluido simples):
-
é a entropia específica, é o volume específico, a temperatura e a pressão. - Capacidade térmica a pressão constante por unidade de massa:
- Coeficiente de dilatação térmica (isobárico) por unidade de volume:
-
- O enunciado pede uma prova matemática; não é necessário usar uma equação numérica ou um gráfico.
Passo 2
Expressar
usando derivadas parciais em variáveis convenientes (regra da cadeia).
- A entropia pode ser vista como função de
: . Se queremos a derivada de em que é mantido fixo, então, ao variar com fixo, a pressão em geral muda com . Pela regra da cadeia:
- Multiplicando por
(porque a relação final tem multiplicando essa derivada):
Passo 3
Reconhecer a primeira parcela como
.
- Pela definição dada em Passo 1:
- Substituindo na expressão do Passo 2:
Passo 4
Encontrar
por meio de uma relação de Maxwell (usar energia de Gibbs).
- Defina a energia livre de Gibbs específica
por unidade de massa como
onde
é a energia interna específica. A diferencial exata de
, considerando
, é
- Dessa expressão obtemos as derivadas parciais naturais:
- Igualando derivadas mistas (a ordem das diferenciações não importa para
bem comportada):
- Substituindo as expressões acima:
- Portanto chegamos à relação de Maxwell desejada:
Passo 5
Relacionar
com
e substituir na expressão.
- Pela definição de
dada no Passo 1:
- Usando a relação de Maxwell do Passo 4:
Passo 6
Substituir
na expressão do Passo 3 e concluir.
- Relembre do Passo 3:
- Substituindo
:
- Simplificando o sinal: