Um sistema termodinâmico obedece a equação fundamental
\left(s-s_{0}\right)^{4}=A v u^{2}
em que s, v e u são a entropia, o volume e a energia interna por mol, e A>0 é uma constante positiva. Encontre uma expressão para a energia livre de Gibbs desse sistema, G=G(T, p, N). Qual a expressão do potencial químico em função da temperatura e da pressão,
\mu=\mu(T, p)
?

Passo 1

O enunciado nos dá a relação fundamental molar
\left(s-s_{0}\right)^{4}=A\,v\,u^{2},
onde s é entropia molar, v volume molar, u energia interna molar e A>0 é constante. As perguntas são:
  • Encontrar a energia livre de Gibbs G=G(T,p,N).
  • Encontrar o potencial químico \mu=\mu(T,p).
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação liga s, v e u (por mol).
  • Para substância simples, as derivações usuais valem para quantidades molares: du = T\,ds - p\,dv, portanto T=\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{v},\qquad p=-\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{s}.
  • A energia livre de Gibbs molar (o potencial molar de Gibbs) é g=u+p v-T s,e o potencial químico para um sistema puro é \mu=g. A energia livre de Gibbs total é G=N g.

Passo 2

Primeiro isolamos u a partir da relação dada. Da igualdade
\left(s-s_{0}\right)^{4}=A\,v\,u^{2}
temos
u^{2}=\frac{\left(s-s_{0}\right)^{4}}{A\,v}.
Tomando a raiz (escolhendo a folha positiva, consistente com u\ge 0),
u=\frac{(s-s_{0})^{2}}{\sqrt{A\,v}}.
Isto expressa u como função de s e v: u(s,v)=\dfrac{(s-s_0)^2}{\sqrt{A v}}.

Passo 3

Usamos as definições termodinâmicas para achar T e p em termos de s e v.
Calcule T:
T=\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{v}.
Derivando u(s,v)=\dfrac{(s-s_0)^2}{\sqrt{A v}} em relação a s (tratando v constante):
T=\frac{2(s-s_0)}{\sqrt{A v}}.

Passo 4

Resolvendo a expressão anterior para s-s_{0} em função de T e v:
s-s_{0}=\frac{T\sqrt{A v}}{2}.
Isto nos dá s em função de T e v:
s = s_{0} + \frac{T\sqrt{A v}}{2}.

Passo 5

Agora calcule p usando
p=-\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{s}.
Derivando u(s,v)= (s-s_0)^2 (A v)^{-1/2} em relação a v (com s fixo):
\frac{\partial u}{\partial v}=(s-s_0)^2\left(-\tfrac{1}{2}\right)A^{-1/2}v^{-3/2}=-\frac{1}{2}\frac{(s-s_0)^2}{\sqrt{A}\,v^{3/2}}.
Portanto
p=-\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{s}=\frac{1}{2}\frac{(s-s_0)^2}{\sqrt{A}\,v^{3/2}}.

Passo 6

Substituímos (s-s_0)^2 obtido do passo 4: a partir de s-s_{0}=\dfrac{T\sqrt{A v}}{2} segue
(s-s_0)^2=\frac{T^{2}A v}{4}.
Inserindo isso em p:
p=\frac{1}{2}\frac{\dfrac{T^{2}A v}{4}}{\sqrt{A}\,v^{3/2}} = \frac{T^{2}}{8}\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{v}}.
Ou escrevendo de forma clara,
p=\frac{\sqrt{A}}{8}\,T^{2}\,v^{-1/2}.

Passo 7

Invertendo a relação acima para obter v como função de T e p:
a partir de
\frac{\sqrt{A}}{8}\,T^{2}\,v^{-1/2}=p
temos
v^{-1/2}=\frac{8p}{\sqrt{A}\,T^{2}},
logo
\sqrt{v}=\frac{\sqrt{A}\,T^{2}}{8p}
e
v=\frac{A\,T^{4}}{64\,p^{2}}.

Passo 8

Agora obtemos u em termos de T e p. Use a expressão simples obtida no passo 2 com (s-s_0)^2=\dfrac{T^2 A v}{4}:
u=\frac{(s-s_0)^2}{\sqrt{A v}} =\frac{\dfrac{T^{2}A v}{4}}{\sqrt{A v}} =\frac{T^{2}}{4}\sqrt{A}\sqrt{v}.
Substituindo \sqrt{v}=\dfrac{\sqrt{A}\,T^{2}}{8p} (do passo 7),
u=\frac{T^{2}}{4}\sqrt{A}\cdot\frac{\sqrt{A}\,T^{2}}{8p} =\frac{A\,T^{4}}{32\,p}.

Passo 9

Obtemos agora s em termos de T e p usando a fórmula do passo 4 e \sqrt{v} do passo 7:
s=s_{0}+\frac{T\sqrt{A v}}{2}=s_{0}+\frac{T}{2}\cdot\frac{A\,T^{2}}{8p} =s_{0}+\frac{A\,T^{3}}{16\,p}.

Passo 10

Calculamos o potencial molar de Gibbs g usando
g=u+p v-T s.
Substitua as expressões em T,p:
  • u=\dfrac{A T^{4}}{32 p},
  • p v = p\cdot\dfrac{A T^{4}}{64 p^{2}}=\dfrac{A T^{4}}{64 p},
  • T s = T\left(s_{0}+\dfrac{A T^{3}}{16 p}\right)=T s_{0}+\dfrac{A T^{4}}{16 p}.
Então
u+p v=\frac{A T^{4}}{32 p}+\frac{A T^{4}}{64 p}=\frac{3A T^{4}}{64 p},
e subtraindo T s:
g=u+p v - T s =\frac{3A T^{4}}{64 p}-\left(T s_{0}+\frac{A T^{4}}{16 p}\right).
Combine os termos em T^{4}/p: \dfrac{3}{64}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{64}-\dfrac{4}{64}=-\dfrac{1}{64}. Assim
g=-T s_{0}-\frac{A T^{4}}{64 p}.

Passo 11

Como o potencial químico molar de uma substância pura é \mu=g, obtemos
\mu(T,p)=-T s_{0}-\frac{A T^{4}}{64 p}.
A energia livre de Gibbs total para N mols é G=N g, portanto
G(T,p,N)=-N T s_{0}-\frac{N A T^{4}}{64 p}.

Resposta

G(T,p,N)=-N T s_{0}-\dfrac{N A T^{4}}{64 p}
\mu(T,p)=-T s_{0}-\dfrac{A T^{4}}{64 p}

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