Um sistema termodinâmico obedece a equação fundamental
em que
e
são a entropia, o volume e a energia interna por mol, e
é uma constante positiva. Encontre uma expressão para a energia livre de Gibbs desse sistema,
. Qual a expressão do potencial químico em função da temperatura e da pressão,
?
?
Passo 1
O enunciado nos dá a relação fundamental molar
onde
é entropia molar,
volume molar,
energia interna molar e
é constante. As perguntas são:
- Encontrar a energia livre de Gibbs
. - Encontrar o potencial químico
.
Informações relevantes fornecidas:
- A relação liga
, e (por mol). - Para substância simples, as derivações usuais valem para quantidades molares:
, portanto - A energia livre de Gibbs molar (o potencial molar de Gibbs) é
e o potencial químico para um sistema puro é . A energia livre de Gibbs total é .
Passo 2
Primeiro isolamos
a partir da relação dada. Da igualdade
temos
Tomando a raiz (escolhendo a folha positiva, consistente com
),
Isto expressa
como função de
e
:
.
Passo 3
Usamos as definições termodinâmicas para achar
e
em termos de
e
.
Calcule :
Calcule
Derivando
em relação a
(tratando
constante):
Passo 4
Resolvendo a expressão anterior para
em função de
e
:
Isto nos dá
em função de
e
:
Passo 5
Agora calcule
usando
Derivando
em relação a
(com
fixo):
Portanto
Passo 6
Substituímos
obtido do passo 4: a partir de
segue
Inserindo isso em
:
Ou escrevendo de forma clara,
Passo 7
Invertendo a relação acima para obter
como função de
e
:
a partir de
a partir de
temos
logo
e
Passo 8
Agora obtemos
em termos de
e
. Use a expressão simples obtida no passo 2 com
:
Substituindo
(do passo 7),
Passo 9
Obtemos agora
em termos de
e
usando a fórmula do passo 4 e
do passo 7:
Passo 10
Calculamos o potencial molar de Gibbs
usando
Substitua as expressões em
:
-
, -
, -
.
Então
e subtraindo
:
Combine os termos em
:
. Assim
Passo 11
Como o potencial químico molar de uma substância pura é
, obtemos
A energia livre de Gibbs total para
mols é
, portanto