Prove que a velocidade média quadrática de um gás ideal monoatômico a T=273 K é:
raizlang<=omega^2rang<==raiz3gamma omega0, onde omega0 é a velocidade do som em P 0.

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é a gente provar que, para um gás ideal monoatômico a T = 273 K, a velocidade média quadrática
\
raizlang<= omega^2 rang<=
\
pode ser escrita como
\
raiz3gamma;omega0,
\
onde é a velocidade do som quando a pressão tende a zero (ou seja, no limite de gás ideal).
Conteúdo envolvido: teoria cinética dos gases (para achar ) e termodinâmica/ondas (para achar a velocidade do som ). Vamos precisar das fórmulas básicas:
  1. , do modelo de Maxwell.
  2. , vindo da definição da velocidade do som em gás ideal.

Passo 2

Calcular a velocidade média quadrática do gás.
Teoria cinética diz que, para um gás ideal monoatômico de átomos de massa lang<= omega^2rang<= ;=; 3,k,Tm, a temperatura , a média do quadrado da velocidade é
\
\
onde é a constante de Boltzmann.
Isso vem do fato de que a energia cinética média de cada partícula é .

Passo 3

Achar a velocidade do som omega0 ;=;raizgamma,Prho,.
Para um gás ideal, a velocidade do som é dada por
\
omega0 = raizgamma,(n,kT)n,m ;=;raizgamma,kTm
\
mas, usando e (onde é a densidade numérica de partículas), isso vira
\
Aqui é o coeficiente adiabático do gás monoatômico ( ).

Passo 4

Agora é só relacionar as duas expressões:
\
raizlang<=omega^2rang<=omega0 = raiztfrac3kTmraiztfracgamma kTm = raiz3gamma
e
raizlang<=omega^2rang<= = raiz3gamma;omega0 .
\
Dividindo um pela outra:
\
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Resposta

.

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