Prove que a velocidade média quadrática de um gás ideal monoatômico a
é:
, onde
é a velocidade do som em
.
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é a gente provar que, para um gás ideal monoatômico a T = 273 K, a velocidade média quadrática
\
\
\
pode ser escrita como
\
pode ser escrita como
\
\
onde é a velocidade do som quando a pressão tende a zero (ou seja, no limite de gás ideal).
Conteúdo envolvido: teoria cinética dos gases (para achar ) e termodinâmica/ondas (para achar a velocidade do som
). Vamos precisar das fórmulas básicas:
onde
Conteúdo envolvido: teoria cinética dos gases (para achar
-
, do modelo de Maxwell. -
, vindo da definição da velocidade do som em gás ideal.
Passo 2
Calcular a velocidade média quadrática do gás.
Teoria cinética diz que, para um gás ideal monoatômico de átomos de massa a temperatura
, a média do quadrado da velocidade é
\
Teoria cinética diz que, para um gás ideal monoatômico de átomos de massa
\
\
onde é a constante de Boltzmann.
Isso vem do fato de que a energia cinética média de cada partícula é .
onde
Isso vem do fato de que a energia cinética média de cada partícula é
Passo 3
Achar a velocidade do som
.
Para um gás ideal, a velocidade do som é dada por
\
Para um gás ideal, a velocidade do som é dada por
\
\
mas, usando e
(onde
é a densidade numérica de partículas), isso vira
\
mas, usando
\
Aqui
é o coeficiente adiabático do gás monoatômico (
).
Passo 4
Agora é só relacionar as duas expressões:
\
e
.
\
Dividindo um pela outra:
\
\
e
\
Dividindo um pela outra:
\
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