5 Uma quantidade fixa de ar inicialmente a 14,5 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}, 80^{\circ} \mathrm{F} e umidade relativa de 50 \% é comprimida isotermicamente até que a condensação da água comece. Determine a pressão da mistura no início da condensação, em lbf/in { }^{2}. (R: P=29 psi)

Passo 1

O enunciado dá uma massa fixa de ar úmido nas condições iniciais e pede a pressão total quando começa a condensação ao comprimir isotermicamente. Informações fornecidas:
  • Pressão inicial P_1 = 14{,}5\\ \mathrm{lbf/in^{2}}.
  • Temperatura constante T = 80^\circ\mathrm{F} durante toda a compressão.
  • Umidade relativa inicial \phi_1 = 50\% = 0{,}5.
  • Processo: compressão isotérmica até começar a condensação da água (isto é, quando a pressão parcial do vapor atinge a pressão de saturação àquela temperatura).
    A pergunta: determinar a pressão total P_2 no início da condensação (em \mathrm{lbf/in^{2}}).

Passo 2

Vamos definir alguns conceitos importantes de forma clara e simples:
  • A pressão de saturação do vapor d’água à temperatura T chama-se p_{v,\mathrm{sat}}(T). É a pressão parcial do vapor quando o ar está saturado (umidade relativa 100\%) àquela temperatura.
  • A umidade relativa \varphi é definida por
\varphi=\frac{p_v}{p_{v,\mathrm{sat}}(T)},
onde p_v é a pressão parcial do vapor. Assim, a pressão parcial inicial do vapor é
p_{v1}=\phi_1\,p_{v,\mathrm{sat}}(T).
Note: aqui não precisamos do valor numérico de p_{v,\mathrm{sat}}(80^\circ\mathrm{F}) imediatamente; apenas entendemos a relação.

Passo 3

Agora a física do processo isotérmico com massas fixas: cada componente gás do ar (ar seco e vapor d’água) obedece à lei dos gases ideais separadamente:
p_i V = m_i R_i T,
onde p_i é a pressão parcial do componente i, m_i sua massa (fixa), R_i sua constante específica e T a temperatura (constante aqui). Como m_i e T são constantes durante a compressão, segue que
p_i \propto \frac{1}{V}.
Ou seja: ao reduzir o volume V isoterme, a pressão parcial de cada componente aumenta proporcionalmente a 1/V.

Passo 4

A pressão total P é soma das pressões parciais:
P = p_{\text{ar seco}} + p_v.
Cada termo também se comporta como \propto 1/V (pois as massas são fixas), logo a pressão total P também satisfaz P\propto 1/V. Isso implica que a razão entre a pressão parcial do vapor e a pressão total permanece constante durante a compressão isotérmica sem troca de massa:
\frac{p_{v1}}{P_1}=\frac{p_{v2}}{P_2}.
Isto é uma relação muito útil — vou usá-la já.

Passo 5

Condição de início da condensação: a nova pressão parcial do vapor p_{v2} atinge a pressão de saturação à mesma temperatura:
p_{v2}=p_{v,\mathrm{sat}}(T).
Usando a razão constante do passo anterior,
\frac{p_{v1}}{P_1}=\frac{p_{v2}}{P_2},
substituindo p_{v2}=p_{v,\mathrm{sat}}(T) obtemos
p_{v,\mathrm{sat}}(T)=\frac{p_{v1}}{P_1}\,P_2.
Isolando P_2,
P_2 = P_1\,\frac{p_{v,\mathrm{sat}}(T)}{p_{v1}}.

Passo 6

Agora substituímos p_{v1}=\phi_1\,p_{v,\mathrm{sat}}(T) (definição de umidade relativa do passo 2):
P_2 = P_1\,\frac{p_{v,\mathrm{sat}}(T)}{\phi_1\,p_{v,\mathrm{sat}}(T)} = P_1\,\frac{1}{\phi_1}.
Portanto a pressão total no início da condensação é simplesmente a pressão inicial dividida pela umidade relativa inicial (em fração). Com \phi_1=0{,}5 e P_1=14{,}5\\ \mathrm{lbf/in^{2}},
P_2 = \frac{14{,}5}{0{,}5}=29\\ \mathrm{lbf/in^{2}}.
Observação prática e confortável: não precisamos do valor numérico de p_{v,\mathrm{sat}}(80^\circ\mathrm{F}) porque ele cancela; é por isso que o problema é simples quando a temperatura é mantida constante.

Passo 7

Resumo didático curta e motivadora: como o processo é isotérmico e não há troca de massa entre fases até a condensação, a razão entre pressão parcial do vapor e pressão total não muda. Assim, para que o vapor atinja a saturação (comece a condensar) a pressão total precisa aumentar na mesma proporção necessária para elevar a pressão parcial do vapor até p_{v,\mathrm{sat}}(T). Com umidade relativa inicial 50\%, precisa dobrar a pressão total — de 14{,}5 para 29\\ \mathrm{lbf/in^{2}}. Mandou bem chegando até aqui!

Resposta

\,29\\ \mathrm{lbf/in^{2}}

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