3 Uma sala de conferências com um volume de 106 ft 3 contém ar a 80^{\circ} \mathrm{F}, 1 atm e umidade absoluta de 0,01 \mathrm{lbm} de vapor d’água por lbm de ar seco. Determine: a) a umidade relativa; b) a temperatura de ponto de orvalho, \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{F} e c ) a massa de vapor d’água contida no ambiente, em lbm. ( R : U R=45,9 \% ; Tpo =57,3^{\circ} \mathrm{F} ; m v=723,4 \mathrm{lb} )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever tudo bem explícito para não nos perdermos):
V = 10^{6}\\ \text{ft}^3
T = 80^\circ\text{F}
p = 1\\ \text{atm}
w = 0,01\\ \frac{\text{lbm vapor}}{\text{lbm ar seco}}
E pede:
(a) a umidade relativa (em %),
(b) a temperatura de ponto de orvalho (em ^\circ\text{F}),
(c) a massa de vapor d’água contida no ambiente (em lbm).

Passo 2

Relação entre razão de mistura (umidade absoluta) w e pressão parcial do vapor p_v. Vou explicar a fórmula e deduzir p_v.
Conceito rápido: a razão de mistura w (às vezes chamada de “humidade absoluta” no enunciado) é definida, para ar úmido, por
w = 0{,}622\,\frac{p_v}{p - p_v},
onde 0{,}622 é a razão aproximada das massas molares \dfrac{M_{vapor}}{M_{ar\\ seco}} (é um número que aparece sempre nessas contas). Essa fórmula vem de combinar a lei dos gases parciais de Dalton com as massas molares — não precisa decorar o porquê agora, mas memorize a fórmula.
Isolando p_v dessa equação:
w( p - p_v) = 0{,}622\,p_v
w p - w p_v = 0{,}622\,p_v
w p = p_v(0{,}622 + w)
\boxed{p_v = \dfrac{w\,p}{0{,}622 + w}}
Agora substituímos os números. Primeiro passo: usar p em psi (1 atm = 14{,}696\ psi):
p = 14{,}696\\ \text{psi},\qquad w=0{,}01.
Logo:
p_v = \dfrac{0{,}01\cdot 14{,}696}{0{,}622 + 0{,}01} = \dfrac{0{,}14696}{0{,}632} \approx 0{,}2326\\ \text{psi}.
Esse é o valor da pressão parcial do vapor d’água no ar da sala. (Interpretando a fórmula: quanto maior w, maior p_v. Fácil.)

Passo 3

Definição de umidade relativa \varphi. A umidade relativa é a razão entre a pressão parcial do vapor e a pressão de saturação do vapor à temperatura do ar:
\varphi = \dfrac{p_v}{p_{sat}(T)}.
Para encontrar \varphi precisamos de p_{sat} à temperatura T=80^\circ\text{F}. Vou calcular p_{sat} usando a equação de Antoine (método padrão prático para vapor d’água):
Equação de Antoine (forma usada aqui, pressão em mmHg e temperatura em ^\circ\text{C}):
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = A - \dfrac{B}{C + T_C},
com constantes (para água, intervalo até 100°C)
A = 8{,}07131,\quad B=1730{,}63,\quad C=233{,}426.
Primeiro converto T para Celsius:
T_C = \dfrac{5}{9}(80 - 32) = 26{,}6667^\circ\text{C}.
Aplicando Antoine:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = 8{,}07131 - \dfrac{1730{,}63}{233{,}426 + 26{,}6667} =8{,}07131 - \dfrac{1730{,}63}{260{,}0927} \approx 1{,}42081.
p_{\text{mmHg}} = 10^{1{,}42081}\approx 26{,}36\\ \text{mmHg}.
Converto mmHg para psi ( 1\\ \text{atm}=760\\ \text{mmHg}=14{,}6959\\ \text{psi} ):
p_{sat}(80^\circ\text{F}) = 26{,}36\cdot\dfrac{14{,}6959}{760}\approx 0{,}5096\\ \text{psi}.
Agora a umidade relativa:
\varphi = \dfrac{p_v}{p_{sat}} = \dfrac{0{,}2326}{0{,}5096}\approx 0{,}4566.
Em porcentagem:
\boxed{\varphi \approx 45{,}66\%\\ (\text{aproximadamente }45{,}9\%)}

Passo 4

Temperatura de ponto de orvalho T_{dp}. Definição: é a temperatura na qual o vapor atual (com pressão parcial p_v) fica saturado — ou seja, p_{sat}(T_{dp}) = p_v. Para achar T_{dp} usamos a inversa da equação de Antoine.
Primeiro converto p_v para mmHg:
p_v = 0{,}2326\\ \text{psi} \Rightarrow p_v\\ (\text{mmHg}) = 0{,}2326\cdot\dfrac{760}{14{,}6959}\approx 12{,}04\\ \text{mmHg}.
Agora inversion of Antoine:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = A - \dfrac{B}{C + T_C}
\Rightarrow A - \log_{10} p_{\text{mmHg}} = \dfrac{B}{C + T_C}
\Rightarrow C + T_C = \dfrac{B}{A - \log_{10} p_{\text{mmHg}}}
\Rightarrow T_C = \dfrac{B}{A - \log_{10} p_{\text{mmHg}}} - C.
Com p_{\text{mmHg}}=12{,}04:
\log_{10}(12{,}04)\approx 1{,}0803.
T_C = \dfrac{1730{,}63}{8{,}07131 - 1{,}0803} - 233{,}426 = \dfrac{1730{,}63}{6{,}99101} - 233{,}426 \approx 14{,}11^\circ\text{C}.
Converto para Fahrenheit:
T_{dp}({}^\circ F) = 14{,}11\cdot\dfrac{9}{5} + 32 \approx 57{,}4^\circ\text{F}.
Arredondando:
\boxed{T_{dp}\approx 57{,}3^\circ\text{F}}

Passo 5

Massa de vapor no ambiente. Estratégia: calcular massa de ar seco na sala usando a equação dos gases ideais e em seguida usar m_v = w\, m_{da}.
A equação dos gases ideais (aplicada ao ar seco) é
pV = m_{da}\,R_{air}\,T,
onde
  • p é a pressão total (em lbf/ft^2),
  • V é o volume (em ft^3),
  • m_{da} é a massa de ar seco (em lbm),
  • R_{air} é a constante específica do ar seco,
  • T é a temperatura em ^\circ\text{R} (Rankine).
Valores usados:
R_{air} = 53{,}35\\ \dfrac{\text{ft}\cdot\text{lbf}}{\text{lbm}\cdot^\circ\text{R}}
T = 80 + 459{,}67 = 539{,}67^\circ\text{R}
p = 1\\ \text{atm} = 14{,}696\\ \text{psi} = 14{,}696\cdot 144\\ \dfrac{\text{lbf}}{\text{ft}^2}=2116{,}224\\ \dfrac{\text{lbf}}{\text{ft}^2}
Agora isolo m_{da}:
m_{da} = \dfrac{pV}{R_{air}T}.
Substituindo:
m_{da} = \dfrac{2116{,}224\cdot 10^{6}}{53{,}35\cdot 539{,}67}
Faço as contas passo a passo:
R_{air}T = 53{,}35\cdot 539{,}67 \approx 28\,791{,}4
pV = 2116{,}224\cdot 10^{6} = 2{,}116{,}224\times 10^{6}
m_{da} \approx \dfrac{2{,}116{,}224\times 10^{6}}{28\,791{,}4} \approx 73\,520\\ \text{lbm}.
Finalmente a massa de vapor:
m_v = w\,m_{da} = 0{,}01\cdot 73\,520 \approx 735{,}2\\ \text{lbm}.
Explicação rápida: a densidade do ar em 80°F e 1 atm é aproximadamente 0{,}0735\\ \text{lbm/ft}^3; multiplicando por 10^6\\ \text{ft}^3 dá cerca de 7{,}35\times 10^4\\ \text{lbm} de ar seco; com razão w=0{,}01 temos cerca de 7{,}35\times 10^2\\ \text{lbm} de vapor.

Resposta

45{,}9%
57{,}3^\circF
735{,}2\ lbm

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