Uma quantidade de gás ideal monoatômico contém inicialmente n moles à temperatura T1. A pressão e o volume são lentamente duplicados, de modo que, em um diagrama p V, esta variação seja uma linha reta. Em função de n, R e T1, determine: Q. R: (a) 1,5 n R T1; (b) 4,5 n R T1; c) 6 n R T1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um gás ideal monoatômico que inicialmente está com uma certa quantidade de mols , à temperatura . A pressão e o volume desse gás são lentamente duplicados, ou seja, tanto a pressão quanto o volume dobram. Essa mudança acontece de forma que, num diagrama , o caminho percorrido é uma linha reta. Nosso objetivo é descobrir a quantidade de calor envolvida nesse processo, expressa em termos de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar alguns conceitos básicos sobre gases ideais e termodinâmica. Para um gás ideal monoatômico, a capacidade calorífica a volume constante ( CV = 32R ) é dada por:
Q = De
Onde é a constante universal dos gases.
Além disso, a primeira lei da termodinâmica nos diz que:
Onde:
  • é o calor trocado,
  • é a variação da energia interna,
  • é o trabalho realizado pelo sistema.

Passo 3

Vamos determinar a variação da energia interna ( De). Para um gás ideal monoatômico, essa variação depende apenas da variação da temperatura:
Então, precisamos encontrar a variação da temperatura ( ) durante o processo.

Passo 4

Sabemos que a pressão e o volume estão sendo duplicados, ou seja:
p2 = 2p1 V2 = 2V1
Para um gás ideal, a relação entre pressão, volume e temperatura é dada pela equação de estado:
pV = nRT
Aplicando isso aos estados inicial e final:
p1 V1 = n R T1 p2 V2 = n R T2
Substituindo (2p1)(2V1) = n R T2 4 p1 V1 = n R T2 e 4 n R T1 = n R T2 T2 = 4 T1 :
Mas sabemos que , então:

Passo 5

Agora que temos De, podemos calcular De:
Então, a variação da energia interna é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho p = mV + b realizado pelo gás durante esse processo. Como o caminho no diagrama W = Área do trapézio = (p1 + p2)2 (V2 - V1) é uma linha reta, podemos expressar a relação entre pressão e volume como:
W = (p1 + 2p1)2 (2V1 - V1) = 3p12 V1
Sabemos que p1 V1 = n R T1 W = 32 n R T1 e dobram, então podemos determinar os coeficientes e . No entanto, uma abordagem mais simples é calcular a área sob a curva no diagrama , que representa o trabalho:
Áé
Substituindo os valores:
Usando novamente a equação de estado no estado inicial:

Passo 7

Agora, aplicando a primeira lei da termodinâmica:
Q = De

Resposta

A quantidade de calor é igual a . Portanto, a resposta correta é a alternativa c) .

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