Uma quantidade de gás ideal monoatômico contém inicialmente
moles à temperatura
. A pressão e o volume são lentamente duplicados, de modo que, em um diagrama
, esta variação seja uma linha reta. Em função de
e
, determine:
. R: (a)
; (b)
; c)
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um gás ideal monoatômico que inicialmente está com uma certa quantidade de mols
, à temperatura
. A pressão
e o volume
desse gás são lentamente duplicados, ou seja, tanto a pressão quanto o volume dobram. Essa mudança acontece de forma que, num diagrama
, o caminho percorrido é uma linha reta. Nosso objetivo é descobrir a quantidade de calor
envolvida nesse processo, expressa em termos de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar alguns conceitos básicos sobre gases ideais e termodinâmica. Para um gás ideal monoatômico, a capacidade calorífica a volume constante (
) é dada por:
Onde
é a constante universal dos gases.
Além disso, a primeira lei da termodinâmica nos diz que:
Onde:
-
é o calor trocado, -
é a variação da energia interna, -
é o trabalho realizado pelo sistema.
Passo 3
Vamos determinar a variação da energia interna (
). Para um gás ideal monoatômico, essa variação depende apenas da variação da temperatura:
Então, precisamos encontrar a variação da temperatura (
) durante o processo.
Passo 4
Sabemos que a pressão e o volume estão sendo duplicados, ou seja:
Para um gás ideal, a relação entre pressão, volume e temperatura é dada pela equação de estado:
Aplicando isso aos estados inicial e final:
Substituindo
e
:
Mas sabemos que
, então:
Passo 5
Agora que temos
, podemos calcular
:
Então, a variação da energia interna é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o trabalho
realizado pelo gás durante esse processo. Como o caminho no diagrama
é uma linha reta, podemos expressar a relação entre pressão e volume como:
Sabemos que
e
dobram, então podemos determinar os coeficientes
e
. No entanto, uma abordagem mais simples é calcular a área sob a curva no diagrama
, que representa o trabalho:
Substituindo os valores:
Usando novamente a equação de estado no estado inicial:
Passo 7
Agora, aplicando a primeira lei da termodinâmica:
Resposta
A quantidade de calor
é igual a
. Portanto, a resposta correta é a alternativa c)
.