Questão 03 (50 pontos) - A formação do hexano em água é descrita pela equação abaixo. As quantidades iniciais dos reagentes são 0,955 e 0,765 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para o carbono e \mathrm{H}_{2}, respectivamente. De acordo com a reação química balanceada, responda:
\mathrm{C}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2(\mathrm{aq})} \rightarrow \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{14(\mathrm{aq})}
(15 pontos) Qual o valor da constante de velocidade da reação de segunda ordem com relação ao \mathrm{H}_{2} a 25^{\circ} \mathrm{C}, quando em 1 hora de reação, 70 \% de \mathrm{H}_{2} se completou;

Passo 1

O enunciado nos dá a formação do hexano e pede a constante de velocidade k de uma reação que é de segunda ordem em relação ao \mathrm{H}_2. As informações fornecidas são:
  • Equação química balanceada (usada para entender estequiometria): 6\mathrm{C}_{(\mathrm{aq})} + 7\mathrm{H}_{2(\mathrm{aq})} \rightarrow \mathrm{C}_6\mathrm{H}_{14(\mathrm{aq})}.
  • Concentrações iniciais: [\mathrm{C}]_0 = 0,955\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e [\mathrm{H}_2]_0 = 0,765\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Depois de 1 hora de reação, 70\% do \mathrm{H}_2 foi consumido (ou seja, restou 30\% do \mathrm{H}_2 inicial).
  • A reação é de segunda ordem em relação a \mathrm{H}_2 (interpreta-se aqui que a velocidade depende apenas de [\mathrm{H}_2] como v = k[\mathrm{H}_2]^2).
    O objetivo explícito: calcular o valor da constante de velocidade k a 25^\circ\mathrm{C} usando os dados acima e considerando t=1\\ \mathrm{h}.

Passo 2

Determinar a concentração de \mathrm{H}_2 após 1 hora a partir da informação de que 70\% foi consumido.
  • Concentração inicial: [\mathrm{H}_2]_0 = 0,765\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Fração restante após 1 h: 1-0,70 = 0,30.
    Logo,
[\mathrm{H}_2]_t = 0,30\,[\mathrm{H}_2]_0 = 0,30\times0,765 = 0,2295\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Observação sobre estequiometria: a equação balanceada foi usada para verificar qual reagente é limitante; aqui \mathrm{H}_2 aparece como limitante pelas quantidades iniciais, mas para o cálculo de k a partir do consumo percentual de \mathrm{H}_2 basta trabalhar com as concentrações de \mathrm{H}_2 (a lei de velocidade dada depende só de [\mathrm{H}_2]).

Passo 3

Derivar a forma integrada da lei de velocidade para reação de segunda ordem (em um único reagente). Partimos da lei diferencial:
-\frac{d[\mathrm{H}_2]}{dt} = k\,[\mathrm{H}_2]^2,
onde:
  • [\mathrm{H}_2] é a concentração do hidrogênio em mol L ^{-1} como função do tempo t,
  • k é a constante de velocidade (unidades serão determinadas pela ordem da reação),
  • o sinal negativo indica que [\mathrm{H}_2] diminui com o tempo.
Separamos variáveis e integramos entre t=0 (concentração [\mathrm{H}_2]_0) e t=t (concentração [\mathrm{H}_2]_t):
\int_{[\mathrm{H}_2]_0}^{[\mathrm{H}_2]_t} \frac{d[\mathrm{H}_2]}{[\mathrm{H}_2]^2} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo dá -\dfrac{1}{[\mathrm{H}_2]} avaliada entre os limites, então:
\left(-\frac{1}{[\mathrm{H}_2]_t} + \frac{1}{[\mathrm{H}_2]_0}\right) = -kt.
Multiplicando por -1 obtemos a forma usual:
\frac{1}{[\mathrm{H}_2]_t} = \frac{1}{[\mathrm{H}_2]_0} + kt.
Esta é a expressão que vamos usar para calcular k.

Passo 4

Isolar k na expressão integrada e substituir os valores conhecidos. Da expressão integrada:
k = \frac{1/[\mathrm{H}_2]_t - 1/[\mathrm{H}_2]_0}{t}.
Colocamos os números (usar unidades SI para o tempo: 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}, para obter k em \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}):
[\mathrm{H}_2]_0 = 0,765\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},\qquad [\mathrm{H}_2]_t = 0,2295\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},\qquad t = 3600\\ \mathrm{s}.
Calculemos os recíprocos:
\frac{1}{[\mathrm{H}_2]_t} = \frac{1}{0,2295}\approx 4,3573\\ \mathrm{L\;mol^{-1}},
\frac{1}{[\mathrm{H}_2]_0} = \frac{1}{0,765}\approx 1,3072\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
A diferença é
\frac{1}{[\mathrm{H}_2]_t}-\frac{1}{[\mathrm{H}_2]_0}\approx 4,3573-1,3072=3,0501\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Agora dividimos por t=3600\\ \mathrm{s}:
k \approx \frac{3,0501}{3600} \approx 0,0008473\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.

Passo 5

Interpretação das unidades e arredondamento final: para uma reação de segunda ordem em um único reagente a unidade de k é \mathrm{L\;mol^{-1}\;time^{-1}}. Com os dados e trabalhando em segundos obtemos k em \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}. Em unidades por hora (usando t=1\\ \mathrm{h}) o valor correspondente seria k\approx3,0501\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;h^{-1}}, mas a forma em SI (por segundo) é mais usual.

Resposta

k \approx 8,47\times10^{-4}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}

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