Questão 2 (
) - considere um recipiente fechado contendo metano sobre pressão de
e temperatura de
. Sabendo que o metano está contido em um recipiente com volume de 7,35 litros, responda as seguintes questões,
a) calcule o volume específico e a massa de metano contida no recipiente utilizando a tabela no apêndice B do livro texto Série Van Wylen. Indique qual tabela foi utilizada;
b) com base na resposta do item a) acima, qual o estado termodinâmico do metano?
c) calcule o volume específico e a massa de metano contida no recipiente utilizando a equação do gá ideal. Qual o erro percentual comparado ao resultado obtido no ítem a)? Explique a razão do valor do erro obtido;
d) calcule o volume específico e a massa de metano contida no recipiente utilizando a equação de estado de Van der Waals. Indique o método numérico utilizado para obter a solução e indique em uma tabela os valores obtidos nas primeiras 8 iterações. Calcule o erro percentual comparado ao resultado obtido no ítem a). Este erro foi menor, igual ou maior do que o erro calculado no ítem c)? Porque?
a) calcule o volume específico e a massa de metano contida no recipiente utilizando a tabela no apêndice B do livro texto Série Van Wylen. Indique qual tabela foi utilizada;
b) com base na resposta do item a) acima, qual o estado termodinâmico do metano?
c) calcule o volume específico e a massa de metano contida no recipiente utilizando a equação do gá ideal. Qual o erro percentual comparado ao resultado obtido no ítem a)? Explique a razão do valor do erro obtido;
d) calcule o volume específico e a massa de metano contida no recipiente utilizando a equação de estado de Van der Waals. Indique o método numérico utilizado para obter a solução e indique em uma tabela os valores obtidos nas primeiras 8 iterações. Calcule o erro percentual comparado ao resultado obtido no ítem a). Este erro foi menor, igual ou maior do que o erro calculado no ítem c)? Porque?
Passo 1
O enunciado dá um recipiente fechado com metano nas condições:
e volume total do recipiente
As perguntas são:
a) calcular o volume específico e a massa do metano usando a tabela do Apêndice B do Van Wylen (indicar qual tabela foi usada);
b) com base em (a) indicar o estado termodinâmico do metano;
c) calcular volume específico e massa usando a equação do gás ideal e dar o erro percentual comparado ao resultado de (a) e explicar a razão;
d) calcular volume específico e massa usando a equação de Van der Waals, indicar o método numérico usado e apresentar em tabela as primeiras 8 iterações; calcular erro percentual comparado a (a) e dizer se esse erro foi menor/igual/maior que o erro de (c) e por quê.
a) calcular o volume específico e a massa do metano usando a tabela do Apêndice B do Van Wylen (indicar qual tabela foi usada);
b) com base em (a) indicar o estado termodinâmico do metano;
c) calcular volume específico e massa usando a equação do gás ideal e dar o erro percentual comparado ao resultado de (a) e explicar a razão;
d) calcular volume específico e massa usando a equação de Van der Waals, indicar o método numérico usado e apresentar em tabela as primeiras 8 iterações; calcular erro percentual comparado a (a) e dizer se esse erro foi menor/igual/maior que o erro de (c) e por quê.
Observação importante (sobre o enunciado e dados faltantes): o item (a) pede explicitamente uso da tabela do Apêndice B do livro-texto Série Van Wylen. Essa tabela (apêndice) não foi enviada na sua mensagem, portanto eu não tenho os valores tabulados que o problema exige para (a). Sem essa tabela eu NÃO POSSO fornecer os valores pedidos em (a) estritamente “usando a tabela do Apêndice B” nem calcular os erros percentuais pedindo comparação com esse resultado.
Dito isso, consigo:
Dito isso, consigo:
- responder (b) qualitativamente usando propriedades críticas conhecidas do metano (essas são bem estabelecidas na literatura);
- resolver (c) usando a equação do gás ideal (totalmente possível com os dados fornecidos);
- resolver (d) usando a equação de Van der Waals com constantes de Van der Waals para o metano obtidas na literatura (vou indicar exatamente quais constantes usei).
Vou então: explicar passo a passo os conceitos, calcular (c) e (d) numéricamente (incluindo uma tabela com 8 iterações do método de Newton-Raphson para (d)) e comentar sobre os erros relativos, mas enfatizo que os erros percentuais solicitados em (c) e (d) em relação a (a) não podem ser calculados enquanto você não fornecer a Tabela do Apêndice B. Se você quiser, depois você pode me enviar a tabela e eu recalculo os erros comparativos.
Constantes e valores que vou usar (e que declaro explicitamente):
- massa molar do metano:
- constante universal dos gases:
- constante específica do metano:
(Vou mostrar o cálculo.) - constantes de Van der Waals (valores da literatura, convertidos para SI): a partir de valores comuns na literatura para metano (por ex.
, ), convertendo:
(Indico que usei esses valores típicos da literatura; se você quiser, posso usar outros valores tabelados que você fornecer.)
Seguindo isso, a partir do Passo 2 eu ensino e calculo (c) e (d). Lembre-se: respostas numéricas comparativas com (a) não são possíveis sem a Tabela do Apêndice B.
Passo 2
A equação do gás ideal e como obter o volume específico e a massa (dou a aula curta e aplico):
- A equação do gás ideal na forma específica é
onde
é a pressão absoluta (
),
é o volume específico (
),
é a constante específica do gás (
) e
é a temperatura absoluta (
). Essa equação assume que o gás obedece ao comportamento ideal (partículas sem volume próprio e sem forças intermoleculares).
- Passo para usar: primeiro calculamos
para o metano a partir de e :
Faço a divisão:
- Agora isolamos
na equação do gás ideal:
- Substituo os valores (todos em SI):
, , .
Calcule o numerador:
Agora
- Com o volume específico podemos obter a massa do conteúdo do recipiente, porque
:
Interpretação física e dicas de prova: escreva sempre unidades em SI, faça a conversão do volume do recipiente para m^3 (litros → m^3: 1 L = 1e-3 m^3), calcule
com a massa molar em kg/mol, e use a forma
. Se precisar fazer na prova sem calculadora, avaliar a ordem de grandeza e arredondar com cuidado; aqui tivemos números que cabem numa calculadora de bolso.
Passo 3
Resultado do item (c) (cálculo completo + comentário sobre erro relativo em relação a (a)):
- Valores calculados com a equação do gás ideal:
- Sobre o erro percentual pedido no enunciado (erro do modelo ideal comparado ao resultado obtido em (a)): não posso calcular esse erro percentual porque o resultado de (a) — obtido “utilizando a tabela no apêndice B do Van Wylen” — não foi fornecido nem a tabela foi enviada. Portanto o erro percentual pedido em (c) em relação a (a) não pode ser determinado aqui.
Explicação qualitativa (porque o erro pode existir): quanto mais altas a pressão e/ou menor a temperatura (isto é, quanto mais o gás estiver próximo de condições de liquefação ou de forte interação molecular), maior a não idealidade e maior o erro do modelo ideal. No nosso casoé uma pressão relativamente alta; portanto espera-se alguma não idealidade e um erro não nulo do gás ideal. Abaixo eu calculo uma estimação refinada usando Van der Waals e mostro a diferença entre ideal e Van der Waals (isto dá uma ideia do quanto o ideal pode estar errado), mas isso não substitui a comparação direta com a tabela do Apêndice B.
Passo 4
Qual é o estado termodinâmico do metano (item b) — aula curta sobre como decidir:
- Para decidir se o fluido é líquido, vapor saturado, vapor superaquecido, ou supercrítico, usamos as propriedades críticas do fluido. Para o metano (valores bem conhecidos na literatura):
- Comparando com as condições do problema:
Interpretação:
- Como
, não existe equilíbrio líquido-vapor com temperatura de saturação (acima da temperatura crítica não há mais linha de saturação que separe líquido e vapor). Entretanto, para ser “supercrítico” no sentido estrito precisamos ter também . Aqui , então não estamos na região supercrítica (que exige e ). - Na prática, com
muito acima de e menor que , o metano está em um estado gasoso/unicamente fluido sem fase líquida — a maneira usual de descrevê-lo é “gás (única fase) / fluido sobreaquecido (não saturado)”. Em termos simples: é um único gás, não há líquido presente.
Conclusão do item (b): o metano está em estado gasoso (não líquido, não em equilíbrio saturado). É um fluido na região de gás (temperatura acima da crítica, pressão abaixo da crítica).
Passo 5
Equação de Van der Waals, método numérico e montando o problema (para item d) — didática e fórmula:
- A forma molar da equação de Van der Waals é
onde
é o volume molar (
),
e
são as constantes de Van der Waals (unidades SI:
em
,
em
),
é a constante universal e
a temperatura. A partir de
obtemos o volume específico por massa:
- Para resolver numericamente para
isolamos uma função
e queremos
.
- Método numérico escolhido: Newton–Raphson (rápido e apropriado porque
é suave e temos um bom chute inicial). A iteração de Newton é
com
- Chute inicial: uso o resultado do gás ideal na forma molar:
- Constantes que usei (especificadas novamente):
, , , , .
Passo 6
Cálculos numéricos para Van der Waals com Newton–Raphson — calculo passo a passo e a tabela com as primeiras 8 iterações
- Chute inicial (gás ideal, molar):
- Agora aplico Newton–Raphson. Vou mostrar para as primeiras 8 iterações: em cada linha dou
(m^3/mol), e . Os cálculos foram feitos com precisão suficiente para prova; notará que a convergência é muito rápida (Newton converge em poucas iterações). Aqui estão os números (valores arredondados mostrados com 10 dígitos significativos quando conveniente):
Iteração 0:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iterações 4 a 7:
com resíduos numericamente nulos na precisão mostrado (ou seja, a solução já convergiu ao limite de arredondamento).
Observação sobre a tabela: coloquei as primeiras oito iterações (0 a 7). A convergência de Newton é tão rápida aqui que, após a segunda iteração, a mudança fica desprezível no número de algarismos significativos usados. Em provas normalmente basta mostrar 2–3 iterações e justificar convergência.
Passo 7
Resultados finais do item (d) (conversão para volume específico por massa e massa total), comparação entre Van der Waals e gás ideal e comentário físico:
- Solução numérica convergida para o volume molar:
- Converto para volume específico por massa:
- Massa no recipiente:
- Comparação numérica entre gás ideal e Van der Waals (isso dá uma ideia da correção não ideal):
Diferença relativa aproximada (ideal em relação a vdW):
Para a massa, o efeito é inverso (massa calculada com ideal é ligeiramente menor):
-
Interpretação física (por que Van der Waals altera o resultado em relação ao ideal): a correção
representa forças atrativas entre moléculas; para uma dada pressão real, essas forças atraentes reduzem o volume molar em relação ao previsto pelo modelo ideal. Portanto o Van der Waals prevê um volume específico ligeiramente menor (e assim massa maior no mesmo recipiente) do que o gás ideal — exatamente o que observamos. -
Sobre o pedido do enunciado (erro percentual comparado ao resultado de (a) e se o erro de Van der Waals foi menor/igual/maior que o de (c)): não posso calcular esses erros percentuais porque o valor de referência em (a) (obtido com o Apêndice B do Van Wylen) não foi fornecido. De modo geral, porém, espera-se que modelos com correções (como Van der Waals) produzam resultados mais próximos da realidade (das tabelas experimentais) do que o gás ideal quando a não idealidade é significativa; portanto, tipicamente o erro de Van der Waals é menor que o erro do gás ideal, mas confirmar isso quantitativamente requer o valor tabulado de (a).
Resposta
a) Não é possível calcular o volume específico e a massa “utilizando a tabela no Apêndice B do Van Wylen” porque a Tabela do Apêndice B não foi fornecida; portanto não posso indicar qual tabela nem fornecer os valores obtidos por ela.
b) O metano está em estado gasoso (única fase, não saturado). Temos e
, logo não há fase líquida/saturada nas condições dadas.
c) Usando a equação do gás ideal: e
. O erro percentual pedido (comparado ao item (a)) não pode ser calculado porque o resultado de (a) não foi fornecido.
d) Usando Van der Waals (com ,
) e Newton–Raphson:
, portanto
e
. (Tabela com as primeiras 8 iterações fornecida no Passo 6.) O erro percentual pedido (comparado ao item (a)) não pode ser calculado sem o valor de (a). Comparando apenas os modelos, a diferença entre ideal e Van der Waals é pequena: cerca de
em
(ideal sobreestima
) e cerca de
na massa; normalmente Van der Waals costuma reduzir o erro em relação ao gás ideal para pressões elevadas, mas a confirmação quantitativa exigida pelo enunciado requer a Tabela do Apêndice B.
b) O metano está em estado gasoso (única fase, não saturado). Temos
c) Usando a equação do gás ideal:
d) Usando Van der Waals (com