QUESTÃO 5. Um cilindro contém um litro de ar à temperatura ambiente ( 300 K ) e pressão atmosférica (
). Numa das extremidades do cilindro há um pistão de massa desprezível cuja superfície mede
. Suponha que você empurre o pistão para dentro abruptamente, exercendo uma força de
pistão se move apenas um milímetro, ante de ser parado por uma barreira cuja natureza é irrelevante para este problema.
(a) Qual é o trabalho que você realizou sobre o sistema?
(b) Que quantidade de calor foi adicionado ao gás?
(c) Supondo que toda a energia adicionada foi para o gás ( e não para o pistão ou para as paredes do cilindro), de quanto aumentou a energia interna do gás?
(d) Use a identidade termodinâmica para calcular a variação de entropia do gás (depois que ele tiver alcançado o equilíbrio).
(a) Qual é o trabalho que você realizou sobre o sistema?
(b) Que quantidade de calor foi adicionado ao gás?
(c) Supondo que toda a energia adicionada foi para o gás ( e não para o pistão ou para as paredes do cilindro), de quanto aumentou a energia interna do gás?
(d) Use a identidade termodinâmica para calcular a variação de entropia do gás (depois que ele tiver alcançado o equilíbrio).
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
- Temperatura ambiente inicial:
. - Pressão atmosférica inicial:
. - Volume inicial:
. - Área do pistão:
. - Força que você exerce:
. - Deslocamento do pistão para dentro:
. - O pistão é empurrado abruptamente e para numa barreira; o enunciado pede que suponhamos que toda a energia adicionada ficou no gás (nenhuma foi para o pistão ou paredes).
O enunciado pede:
(a) O trabalho que você realizou sobre o sistema (o gás).
(b) A quantidade de calor adicionada ao gás.
(c) Supondo que toda a energia adicionada foi para o gás, quanto aumentou a energia interna do gás.
(d) Usar a identidade termodinâmica para calcular a variação de entropia do gás, depois que ele atingir o equilíbrio.
(a) O trabalho que você realizou sobre o sistema (o gás).
(b) A quantidade de calor adicionada ao gás.
(c) Supondo que toda a energia adicionada foi para o gás, quanto aumentou a energia interna do gás.
(d) Usar a identidade termodinâmica para calcular a variação de entropia do gás, depois que ele atingir o equilíbrio.
Passo 2
Cálculo do volume final e do trabalho realizado por você.
- A variação de volume quando o pistão entra é
O sinal negativo indica que o volume do gás diminuiu (compressão).
- O trabalho que você faz sobre o sistema (força constante
) é força vezes deslocamento na direção do movimento:
Breve comentário físico: este é o trabalho fornecido por você ao conjunto pistão+gás; como a força foi exercida para dentro, esse trabalho entra no sistema (positivo neste sentido).
Passo 3
Que quantidade de calor foi adicionada ao gás?
O enunciado diz que você empurra “abruptamente” e não menciona troca de calor com o ambiente durante o choque/compressão; processo rápido é, na prática, adiabático (não há tempo para trocas de calor externas). Portanto, a quantidade de calor fornecida ao gás durante o empurrão é
(Depois de o gás dissipar internamente a energia do choque e atingir novo equilíbrio, nenhuma energia externa foi acrescentada na forma de calor neste processo inicial.)
Passo 4
Variação da energia interna do gás.
Usamos a primeira lei da termodinâmica (para um sistema fechado):
onde
é trabalho feito sobre o sistema. Substituindo:
Ou seja, assumindo que nenhuma energia foi perdida para pistão/paredes e que todo o trabalho foi absorvido pelo gás, a energia interna do gás aumentou
.
Passo 5
Encontrar a quantidade de matéria
do gás (necessário para passos seguintes).
Usamos a equação dos gases ideais:
onde
. Logo
Passo 6
Relacionar
com
e escolher
.
Para um gás ideal, a variação de energia interna é
onde
é a capacidade molar a volume constante (unidade
). O ar à temperatura ambiente comporta-se essencialmente como gás diatômico, com
. Vou usar essa aproximação (explico: monótono teria
, diatômico
; ar seco ≈ diatômico a 300 K). Assim
Agora calculamos
:
Portanto a nova temperatura de equilíbrio é aproximadamente
Passo 7
Cálculo da variação de entropia
usando identidade termodinâmica / fórmulas para gás ideal.
Teoria curta e clara: para um gás ideal a variação de entropia entre dois estados de equilíbrio
e
pode ser calculada por
Aqui cada termo tem sentido físico:
-
vem da contribuição térmica (variação de energia interna térmica); -
corrige a mudança de volume (entropia depende também do volume disponível).
Já temos
,
,
,
e
. Calculamos
:
Agora os termos numéricos:
- Primeiro termo:
Calculando passo a passo:
Portanto
- Segundo termo:
Note que
(confirmação rápida), e
Logo
Somando os dois:
Interpretação breve: a variação de entropia é positiva e pequena (
). Positiva porque o processo foi irreversível (compressão abrupta) e gerou produção de entropia interna; numericamente é pequena porque a compressão é muito pequena.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)