1- Questão:
Demonstrar a 1{ }^{\text {a }} Lei da termodinâmica para sistemas abertos.

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre a 1ª Lei da termodinâmica para sistemas abertos.
Informações dadas (implícitas no pedido):
  • Quer-se a expressão de balanço de energia para um sistema aberto (controle de massa que troca massa com o ambiente), isto é, uma lei que relacione calor, trabalho e a energia que entra e sai junto com as massas.
  • Deve-se obter a forma que envolve entalpia (quando conveniente), energia cinética e energia potencial por unidade de massa, e as formas para regimes transientes e regime estacionário.

Passo 2

Começamos lembrando a 1ª Lei para um sistema fechado (controle de massa): ela afirma que a variação da energia total do sistema é igual ao calor fornecido ao sistema menos o trabalho realizado pelo sistema. Em forma de taxas (derivadas no tempo) para o sistema-massa:
\frac{dE_{\text{sys}}}{dt}=\dot Q-\dot W,
onde:
  • \frac{dE_{\text{sys}}}{dt} é a taxa de variação da energia do sistema (energia interna + energia cinética + energia potencial),
  • \dot Q é a taxa de calor fornecida ao sistema,
  • \dot W é a taxa de trabalho efetuada pelo sistema (aqui trabalho em sentido mecânico útil, depois especificaremos tipos de trabalho).
    Explico: a energia total de um sistema-massa é a soma da energia interna U, da energia cinética E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2}mV^{2} e da energia potencial E_{\text{pot}}=mgz. Em taxas por unidade de tempo usamos pontos sobre as letras.

Passo 3

Agora definimos controle de volume (CV) e a diferença entre “sistema” e “controle de volume”.
  • “Sistema” (controle de massa) = uma coleção fixa de massa que se segue no tempo (não fixa em espaço).
  • “Controle de volume” = região espacial fixa através da qual massa pode entrar ou sair.
Para relacionar a variação de energia do sistema com quantidades medidas no CV usamos um teorema que traduz a conservação aplicada a um sistema para uma forma de balanço no CV. Uma forma direta e acessível desse passo é raciocinar em um pequeno intervalo de tempo \Delta t: o sistema que na hora inicial coincide com o conteúdo do CV depois terá saído/entrado massas; a mudança de energia do sistema se compõe da mudança de energia do conteúdo do CV mais a energia transportada pelas massas que saíram/entraram. Esse raciocínio leva à versão do Teorema de Reynolds para energia (ou simplesmente à equação de transporte de energia):
\frac{dE_{\text{sys}}}{dt}=\frac{dE_{CV}}{dt}+\sum_{\text{saídas}}\dot m_{\text{out}}\,e_{\text{out}}-\sum_{\text{entradas}}\dot m_{\text{in}}\,e_{\text{in}},í
onde:
  • \frac{dE_{CV}}{dt} é a taxa de variação da energia dentro do volume de controle (energia interna + cinética + potencial contida no CV),
  • \dot m_{\text{in}} e \dot m_{\text{out}} são as vazões mássicas (kg/s) nas entradas e saídas,
  • e é a energia total específica (por unidade de massa) transportada pela corrente de massa; mais sobre e no próximo passo.
Explicando o sinal: a energia que sai reduce a energia do sistema, por isso aparece com sinal positivo ao mover para o lado direito (essa é apenas a forma consagrada ao rearranjar os termos do RTT).

Passo 4

Substituímos a expressão do Teorema de Reynolds na 1ª Lei para o sistema. Começando de
\frac{dE_{\text{sys}}}{dt}=\dot Q-\dot W,
e usando
\frac{dE_{\text{sys}}}{dt}=\frac{dE_{CV}}{dt}+\sum_{\text{out}}\dot m_{\text{out}}\,e_{\text{out}}-\sum_{\text{in}}\dot m_{\text{in}}\,e_{\text{in}},
obtemos a forma fundamental no CV:
\frac{dE_{CV}}{dt}+\sum_{\text{out}}\dot m_{\text{out}}\,e_{\text{out}}-\sum_{\text{in}}\dot m_{\text{in}}\,e_{\text{in}}=\dot Q-\dot W.
Essa é a equação geral de balanço de energia em forma de taxas para um volume de controle. Agora precisamos explicar o que é e e o que entra em \dot W.

Passo 5

Definição da energia específica e transportada pela massa que atravessa a fronteira. Cada pequeno elemento de massa carrega:
  • energia interna específica (u) [J/kg],
  • energia cinética específica \left(\tfrac{V^{2}}{2}\right) [J/kg], onde V é a velocidade do fluido no ponto de entrada/saída,
  • energia potencial específica (gz) [J/kg], onde g é aceleração da gravidade e z a altura.
    Portanto a energia total específica sem ainda contar o trabalho associado ao empurrar a massa através da fronteira (o chamado trabalho de fluxo) é
e=u+\frac{V^{2}}{2}+gz.

Passo 6

Explicação do trabalho de fluxo (flow work) e definição de entalpia.
Quando uma massa entra ou sai do CV, é necessário “empurrá-la” para dentro/fora contra a pressão do fluido que já está na fronteira. O pequeno trabalho associado a empurrar uma massa \delta m que ocupa volume \delta V é p\,\delta V. Por unidade de massa isso é p v, onde v é o volume específico ( v=1/\rho). Esse trabalho de fluxo é realizado continuamente nas seções de entrada/saída; por isso aparece no balanço de energia de sistemas abertos.
Define-se a entalpia específica como
h = u + p v.
Explicação: h agrupa a energia interna u e o trabalho de fluxo p v por unidade de massa; é uma forma conveniente de escrever a energia transportada por massa num fluxo (já inclui o efeito do trabalho necessário para inserir a massa no CV). Assim, quando uma massa atravessa a fronteira a energia que ela transporta, contando também o trabalho de fluxo, é:
h+\frac{V^{2}}{2}+g z.

Passo 7

Substituímos e por h+\tfrac{V^{2}}{2}+gz na equação do Passo 4. Além disso, convém separar o trabalho total \dot W em partes:
  • trabalho de fluxo (já incorporado via entalpia quando usamos h em e), e
  • trabalho de eixo ou trabalho útil (shaft work) \dot W_s realizado pelo sistema (turbina, compressor, bomba, agitador etc.), e possivelmente trabalho de expansão realizável nas fronteiras não-pressurizadas (mas no balanço usual de CV separam-se \dot W_s e se incorpora p v nas entalpias). Tomando \dot W no lado direito como o trabalho total realizado pelo sistema sobre o ambiente e escolhendo a convenção em que \dot W_s é o trabalho de eixo (positivo quando feito pelo sistema), reescrevemos a equação como:
\frac{dE_{CV}}{dt}+\sum_{\text{out}}\dot m_{\text{out}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right)-\sum_{\text{in}}\dot m_{\text{in}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right)=\dot Q-\dot W_{s}.
Observações sobre sinais e convenções:
  • \dot Q é a taxa de calor adicionada ao CV (positiva se fornecida ao CV),
  • \dot W_{s} é o trabalho de eixo realizado pelo CV (positiva se realizado pelo sistema; algumas referências usam sinal oposto — importante verificar a convenção na prova),
  • Os termos de massa vêm como saída menos entrada no lado esquerdo porque representam saída líquida de energia do CV.

Passo 8

Organizamos a expressão final (forma mais utilizada da 1ª Lei para sistemas abertos). A equação de balanço de energia por unidade de tempo para um controle de volume qualquer fica:
\boxed{\displaystyle \frac{dE_{CV}}{dt} +\sum_{\text{out}}\dot m_{\text{out}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right) -\sum_{\text{in}}\dot m_{\text{in}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right) =\dot Q-\dot W_{s}.}
Explicando cada termo novamente, para ficar gravado:
  • \frac{dE_{CV}}{dt}: taxa de variação da energia total dentro do CV (soma de U_{CV}, \tfrac{1}{2}mV^{2} e mgz do conteúdo do CV),
  • \dot m(h+\tfrac{V^{2}}{2}+gz): taxa de energia transportada pela massa que entra/ sai (entalpia + cinética + potencial),
  • \dot Q: taxa de calor fornecida ao CV,
  • \dot W_{s}: trabalho de eixo (potência) fornecido pelo sistema.
Essa é a forma geral, válida para regimes transientes (quando \frac{dE_{CV}}{dt}\neq0) e para múltiplas entradas e saídas.

Passo 9

Casos práticos e simplificações úteis para a prova.
  1. Regime estacionário (estado estacionário de massa e energia dentro do CV): a energia dentro do CV não muda com o tempo, então \frac{dE_{CV}}{dt}=0. A equação simplifica-se para:
\sum_{\text{out}}\dot m_{\text{out}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right) -\sum_{\text{in}}\dot m_{\text{in}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right) =\dot Q-\dot W_{s}.
Se houver apenas uma entrada e uma saída com vazões iguais \dot m, essa expressão pode ser escrita como:
\dot m\left(h_{\text{out}}-h_{\text{in}}+\frac{V_{\text{out}}^{2}-V_{\text{in}}^{2}}{2}+g(z_{\text{out}}-z_{\text{in}})\right)=\dot Q-\dot W_{s}.
  1. Dispositivo típico: turbina (energia é extraída), compressor (energia é fornecida), trocador de calor (apenas \dot Q e sem trabalho de eixo), bomba (energia de pressão e trabalho de eixo), etc. Para uma turbina ideal, muitas vezes V e z são desprezíveis e a equação reduz a \dot m(h_{\text{in}}-h_{\text{out}})=\dot W_{s}+\dot Q com sinais ajustados conforme convenção.

Passo 10

Resumo didático final (como usar na prova):
  • Lembre-se: massa transporta entalpia h=u+pv porque o trabalho de fluxo pv é necessário para empurrar a massa através da fronteira.
  • A forma geral da 1ª Lei para CV é a equação do Passo 8. Para provas, comece escrevendo a forma geral, identifique entradas/saídas, defina sinais e depois simplifique (estacionário, negligenciar V^{2}/2 ou gz se justificado).
  • Se precisar derivar no caderno, explique o papel do trabalho de fluxo e mostre a substituição u+pv=h — isso ganha pontos pela clareza.

Resposta

\frac{dE_{CV}}{dt} +\sum_{\text{out}}\dot m_{\text{out}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right) -\sum_{\text{in}}\dot m_{\text{in}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right) =\dot Q-\dot W_{s}.
\text{(Regime estacionário: }\; \sum_{\text{out}}\dot m_{\text{out}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right) -\sum_{\text{in}}\dot m_{\text{in}}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right) =\dot Q-\dot W_{s}\text{)}á

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