1- Questão:
Demonstrar a
Lei da termodinâmica para sistemas abertos.
Demonstrar a
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre a 1ª Lei da termodinâmica para sistemas abertos.
Informações dadas (implícitas no pedido):
Informações dadas (implícitas no pedido):
- Quer-se a expressão de balanço de energia para um sistema aberto (controle de massa que troca massa com o ambiente), isto é, uma lei que relacione calor, trabalho e a energia que entra e sai junto com as massas.
- Deve-se obter a forma que envolve entalpia (quando conveniente), energia cinética e energia potencial por unidade de massa, e as formas para regimes transientes e regime estacionário.
Passo 2
Começamos lembrando a 1ª Lei para um sistema fechado (controle de massa): ela afirma que a variação da energia total do sistema é igual ao calor fornecido ao sistema menos o trabalho realizado pelo sistema. Em forma de taxas (derivadas no tempo) para o sistema-massa:
onde:
-
é a taxa de variação da energia do sistema (energia interna + energia cinética + energia potencial), -
é a taxa de calor fornecida ao sistema, -
é a taxa de trabalho efetuada pelo sistema (aqui trabalho em sentido mecânico útil, depois especificaremos tipos de trabalho).
Explico: a energia total de um sistema-massa é a soma da energia interna, da energia cinética e da energia potencial . Em taxas por unidade de tempo usamos pontos sobre as letras.
Passo 3
Agora definimos controle de volume (CV) e a diferença entre “sistema” e “controle de volume”.
- “Sistema” (controle de massa) = uma coleção fixa de massa que se segue no tempo (não fixa em espaço).
- “Controle de volume” = região espacial fixa através da qual massa pode entrar ou sair.
Para relacionar a variação de energia do sistema com quantidades medidas no CV usamos um teorema que traduz a conservação aplicada a um sistema para uma forma de balanço no CV. Uma forma direta e acessível desse passo é raciocinar em um pequeno intervalo de tempo
: o sistema que na hora inicial coincide com o conteúdo do CV depois terá saído/entrado massas; a mudança de energia do sistema se compõe da mudança de energia do conteúdo do CV mais a energia transportada pelas massas que saíram/entraram. Esse raciocínio leva à versão do Teorema de Reynolds para energia (ou simplesmente à equação de transporte de energia):
onde:
-
é a taxa de variação da energia dentro do volume de controle (energia interna + cinética + potencial contida no CV), -
e são as vazões mássicas (kg/s) nas entradas e saídas, -
é a energia total específica (por unidade de massa) transportada pela corrente de massa; mais sobre no próximo passo.
Explicando o sinal: a energia que sai reduce a energia do sistema, por isso aparece com sinal positivo ao mover para o lado direito (essa é apenas a forma consagrada ao rearranjar os termos do RTT).
Passo 4
Substituímos a expressão do Teorema de Reynolds na 1ª Lei para o sistema. Começando de
e usando
obtemos a forma fundamental no CV:
Essa é a equação geral de balanço de energia em forma de taxas para um volume de controle. Agora precisamos explicar o que é
e o que entra em
.
Passo 5
Definição da energia específica
transportada pela massa que atravessa a fronteira. Cada pequeno elemento de massa carrega:
- energia interna específica
[J/kg], - energia cinética específica
[J/kg], onde é a velocidade do fluido no ponto de entrada/saída, - energia potencial específica
[J/kg], onde é aceleração da gravidade e a altura.
Portanto a energia total específica sem ainda contar o trabalho associado ao empurrar a massa através da fronteira (o chamado trabalho de fluxo) é
Passo 6
Explicação do trabalho de fluxo (flow work) e definição de entalpia.
Quando uma massa entra ou sai do CV, é necessário “empurrá-la” para dentro/fora contra a pressão do fluido que já está na fronteira. O pequeno trabalho associado a empurrar uma massa que ocupa volume
é
. Por unidade de massa isso é
, onde
é o volume específico (
). Esse trabalho de fluxo é realizado continuamente nas seções de entrada/saída; por isso aparece no balanço de energia de sistemas abertos.
Quando uma massa entra ou sai do CV, é necessário “empurrá-la” para dentro/fora contra a pressão do fluido que já está na fronteira. O pequeno trabalho associado a empurrar uma massa
Define-se a entalpia específica como
Explicação:
agrupa a energia interna
e o trabalho de fluxo
por unidade de massa; é uma forma conveniente de escrever a energia transportada por massa num fluxo (já inclui o efeito do trabalho necessário para inserir a massa no CV). Assim, quando uma massa atravessa a fronteira a energia que ela transporta, contando também o trabalho de fluxo, é:
Passo 7
Substituímos
por
na equação do Passo 4. Além disso, convém separar o trabalho total
em partes:
- trabalho de fluxo (já incorporado via entalpia quando usamos
em ), e - trabalho de eixo ou trabalho útil (shaft work)
realizado pelo sistema (turbina, compressor, bomba, agitador etc.), e possivelmente trabalho de expansão realizável nas fronteiras não-pressurizadas (mas no balanço usual de CV separam-se e se incorpora nas entalpias). Tomando no lado direito como o trabalho total realizado pelo sistema sobre o ambiente e escolhendo a convenção em que é o trabalho de eixo (positivo quando feito pelo sistema), reescrevemos a equação como:
Observações sobre sinais e convenções:
-
é a taxa de calor adicionada ao CV (positiva se fornecida ao CV), -
é o trabalho de eixo realizado pelo CV (positiva se realizado pelo sistema; algumas referências usam sinal oposto — importante verificar a convenção na prova), - Os termos de massa vêm como saída menos entrada no lado esquerdo porque representam saída líquida de energia do CV.
Passo 8
Organizamos a expressão final (forma mais utilizada da 1ª Lei para sistemas abertos). A equação de balanço de energia por unidade de tempo para um controle de volume qualquer fica:
Explicando cada termo novamente, para ficar gravado:
-
: taxa de variação da energia total dentro do CV (soma de , e do conteúdo do CV), -
: taxa de energia transportada pela massa que entra/ sai (entalpia + cinética + potencial), -
: taxa de calor fornecida ao CV, -
: trabalho de eixo (potência) fornecido pelo sistema.
Essa é a forma geral, válida para regimes transientes (quando
) e para múltiplas entradas e saídas.
Passo 9
Casos práticos e simplificações úteis para a prova.
- Regime estacionário (estado estacionário de massa e energia dentro do CV): a energia dentro do CV não muda com o tempo, então
. A equação simplifica-se para:
Se houver apenas uma entrada e uma saída com vazões iguais
, essa expressão pode ser escrita como:
- Dispositivo típico: turbina (energia é extraída), compressor (energia é fornecida), trocador de calor (apenas
e sem trabalho de eixo), bomba (energia de pressão e trabalho de eixo), etc. Para uma turbina ideal, muitas vezes e são desprezíveis e a equação reduz a com sinais ajustados conforme convenção.
Passo 10
Resumo didático final (como usar na prova):
- Lembre-se: massa transporta entalpia
porque o trabalho de fluxo é necessário para empurrar a massa através da fronteira. - A forma geral da 1ª Lei para CV é a equação do Passo 8. Para provas, comece escrevendo a forma geral, identifique entradas/saídas, defina sinais e depois simplifique (estacionário, negligenciar
ou se justificado). - Se precisar derivar no caderno, explique o papel do trabalho de fluxo e mostre a substituição
— isso ganha pontos pela clareza.