A equação de estado de Van der Waals é dada por
\left(P+\frac{n^{2} a}{V^{t 2}}\right)\left(V^{t}-n b\right)=n R T
Onde: P=pressão, \mathrm{n}= número de moles, \mathrm{V}^{\mathrm{t}} : volume total, \mathrm{R}= constante do gás ideal, \mathrm{T}= temperatura absoluta e a e b são constantes. Determine as unidades das constantes a e b e R.
Resp: [a]=\frac{\mathrm{Nm}^{4}}{\mathrm{~mol}^{2}}=\frac{\mathrm{kgm}^{5}}{\mathrm{~mol}^{2} \mathrm{~s}^{2}}
[b]=\frac{m^{3}}{m o l}

Passo 1

O enunciado dá a equação de Van der Waals
\left(P+\frac{n^{2}a}{(V^{t})^{2}}\right)\left(V^{t}-n b\right)=n R T
e pede as unidades das constantes a, b e de R.
Informações explícitas do enunciado:
  • P é pressão;
  • n é número de mols;
  • V^{t} é volume total;
  • R é a constante dos gases (a determinar unidade);
  • T é temperatura absoluta;
  • a e b são constantes cuja unidade precisa ser encontrada.
O que vamos buscar: [a], [b] e [R] em unidades do Sistema Internacional (SI).

Passo 2

Primeiro, listar as unidades SI básicas das quantidades que aparecem:
  • A unidade da pressão P é o pascal: \mathrm{Pa}. Em unidades base,
\mathrm{Pa}=\mathrm{N\,m^{-2}}=\mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-2}}.
  • A unidade do volume V^{t} é o metro cúbico:
[V^{t}]=\mathrm{m^{3}}.
  • A unidade do número de mols n é o mol:
[n]=\mathrm{mol}.
  • A unidade da temperatura T é o kelvin:
[T]=\mathrm{K}.
As unidades de a, b e R ainda são desconhecidas e serão determinadas por análise dimensional.

Passo 3

Determinar [b] usando a diferença dentro do segundo parêntese \left(V^{t}-n b\right).
Argumento: as duas parcelas subtraídas devem ter as mesmas unidades. Assim
[n\,b]=[V^{t}].
Isolando [b],
[b]=\frac{[V^{t}]}{[n]}=\frac{\mathrm{m^{3}}}{\mathrm{mol}}.
Interpretação prática: b tem unidades de volume por mol, ou seja \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}.

Passo 4

Determinar [a] usando a soma dentro do primeiro parêntese \left(P+\dfrac{n^{2}a}{(V^{t})^{2}}\right).
Argumento: as parcelas somadas devem ter as mesmas unidades; portanto a unidade da fração deve ser a de pressão:
\left[\frac{n^{2}a}{(V^{t})^{2}}\right]=[P].
Isolando [a],
[a]=[P]\frac{[V^{t}]^{2}}{[n]^{2}}.
Substituindo as unidades conhecidas,
[a]=\mathrm{Pa}\cdot\frac{(\mathrm{m^{3}})^{2}}{(\mathrm{mol})^{2}}=\mathrm{Pa}\cdot\frac{\mathrm{m^{6}}}{\mathrm{mol^{2}}}.
Como \mathrm{Pa}=\mathrm{N\,m^{-2}}, temos
[a]=\mathrm{N\,m^{-2}}\cdot\mathrm{m^{6}}\,\mathrm{mol^{-2}}=\mathrm{N\,m^{4}}\,\mathrm{mol^{-2}}.
Convertendo Newton para unidades base ( \mathrm{N}=\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}),
[a]=\mathrm{kg\,m^{5}\,s^{-2}\,mol^{-2}}.
Observação: ambas as formas são equivalentes: \mathrm{N\,m^{4}\,mol^{-2}} ou \mathrm{kg\,m^{5}\,s^{-2}\,mol^{-2}}.

Passo 5

Determinar [R] usando a igualdade da equação completa. Uma forma direta é usar a lei do gás ideal P V = n R T (é a mesma estrutura dimensional), logo
[R]=\frac{[P]\,[V^{t}]}{[n]\,[T]}.
Substituindo:
[R]=\frac{\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^{3}}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}}.
Como \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^{3}}=\mathrm{N\,m}=\mathrm{J} (joule), temos a forma usual
[R]=\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\,K}}=\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 6

Resumo final das unidades (formas equivalentes e mais comuns):
  • [a]=\mathrm{N\,m^{4}\,mol^{-2}}=\mathrm{kg\,m^{5}\,s^{-2}\,mol^{-2}}.
  • [b]=\mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}.
  • [R]=\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}=\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Força: você já fez a parte mais chata (dimensão por dimensão) — tá indo bem!

Resposta

[a]=\mathrm{N\,m^{4}\,mol^{-2}}=\mathrm{kg\,m^{5}\,s^{-2}\,mol^{-2}}
[b]=\mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}
[R]=\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}=\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}\,mol^{-1}\,K^{-1}}

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