2- Questão:
Demostrar a equação de Bernoulli aplicada a mecânica dos fluídos.

Passo 1

O enunciado pede: demonstrar a equação de Bernoulli aplicada à mecânica dos fluidos.
Informações relevantes / condições que vamos considerar (condições padrão para a forma clássica de Bernoulli):
  • Fluxo estacionário (steady): as grandezas não dependem do tempo.
  • Fluido incompressível: \rho é constante.
  • Fluido não viscoso (invísido): não há tensões viscosas (somente pressão e forças de volume atuam).
  • Análise ao longo de uma mesma linha de corrente (streamline).
    Objetivo final: obter a relação que é constante ao longo de uma linha de corrente, mostrando claramente o que cada termo representa.

Passo 2

Definir o elemento de fluido e as variáveis usadas.
  • Considere um filamento de fluido ao longo de uma linha de corrente, com comprimento diferencial \mathrm{d}s.
  • Denotar por p=p(s) a pressão no ponto cujo parâmetro ao longo da linha de corrente é s.
  • Denotar por v=v(s) a velocidade do fluido (módulo) nesse ponto.
  • Denotar por \rho a densidade (constante, pois o fluido é incompressível).
  • Usar z=z(s) para a coordenada vertical (positiva para cima).
    Vou trabalhar com as forças por unidade de volume e a aceleração do fluido para escrever o balanço de forças (equação de movimento) sobre esse elemento.

Passo 3

Escrever a equação de movimento para um fluido invísido (equação de Euler) e explicar cada termo.
A forma geral (vetorial) da equação de Euler é:
\rho\left(\frac{\partial \vec v}{\partial t} + (\vec v\cdot\nabla)\vec v\right) = -\nabla p + \rho \vec g.
Explicação dos termos:
  • \rho é a densidade do fluido (massa por volume).
  • \vec v é o vetor velocidade do fluido; \frac{\partial \vec v}{\partial t} é a variação local no tempo (zero para fluxo estacionário).
  • (\vec v\cdot\nabla)\vec v é a derivada convectiva (variação da velocidade ao longo do movimento do fluido) — descreve aceleração devido à mudança de velocidade ao longo do caminho.
  • -\nabla p é a força por unidade de volume devido a gradiente de pressão.
  • \rho \vec g é a força por unidade de volume devido à gravidade (com \vec g = -g\,\hat k se z é vertical para cima).

Passo 4

Simplificar para fluxo estacionário e projetar a equação ao longo da linha de corrente.
Como o fluxo é estacionário, \dfrac{\partial \vec v}{\partial t}=0. Resta:
\rho (\vec v\cdot\nabla)\vec v = -\nabla p + \rho \vec g.
Agora projetar essa equação na direção tangente à linha de corrente (direção \hat s). A componente tangencial do termo convectivo pode ser entendida intuitivamente: se v é o módulo da velocidade ao longo da linha de corrente, a aceleração tangencial é
\text{aceleração tangencial} = v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}.çã
Portanto, multiplicando a equação vetorial por \hat s e usando isso, obtemos a forma escalar ao longo de s:
\rho\, v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s} = -\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}s} + \rho\,(\vec g\cdot\hat s).

Passo 5

Expressar a componente da gravidade ao longo de s em termos de z.
Tomando z positivo para cima e \vec g = -g\,\hat k, a componente de \vec g ao longo de \hat s é
\vec g\cdot\hat s = -g\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s},
pois \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = \hat s\cdot\hat k. Substituindo isso na equação escalar do passo anterior:
\rho\, v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s} = -\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}s} - \rho\,g\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}.

Passo 6

Reorganizar para escrever como derivada total de uma soma e integrar.
Colocando todos os termos no lado esquerdo:
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}s} + \rho\, v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s} + \rho\,g\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = 0.
Note que cada termo é a derivada em relação a s de uma quantidade simples:
  • \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\!\left(\tfrac{1}{2}\rho v^2\right) = \rho v \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}.
  • \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\!(\rho g z) = \rho g \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}.
    Portanto a equação pode ser escrita como
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\!\left(p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z\right) = 0.
Integrando ao longo da linha de corrente (ou simplesmente reconhecendo que a derivada é zero) obtemos:
p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante ao longo da linha de corrente}.

Passo 7

Interpretar fisicamente cada termo e apresentar a forma por unidade de massa.
  • p é a energia por unidade de volume associada à pressão (ou “energia de pressão”).
  • \tfrac{1}{2}\rho v^2 é a energia cinética por unidade de volume.
  • \rho g z é a energia potencial gravitacional por unidade de volume.
    É comum também dividir tudo por \rho para obter a forma por unidade de massa (mais usada em muitos exercícios e em hidráulica):
\frac{p}{\rho} + \tfrac{1}{2}v^2 + g z = \text{constante ao longo da linha de corrente}.
Essa é a forma clássica de Bernoulli para fluxo estacionário, incompressível e invísido.

Passo 8

Observações sobre hipóteses e limitações (para saber quando aplicar na prova).
  • Se houver viscosidade importante (esforços de cisalhamento), perdas por atrito fazem com que o lado esquerdo não seja constante; aparece uma termo de perda.
  • Se o fluido for compressível com variações significativas de densidade, a forma simples acima não vale; deve-se usar formas mais gerais envolvendo entalpia.
  • Se o fluxo for não estacionário ( \partial\vec v/\partial t \neq 0), surge um termo extra temporal na derivada material e a forma simples não se aplica.
  • A versão que deduzimos vale ao longo de uma mesma linha de corrente; para uma região irrotacional a constante é a mesma em toda a região, não só numa linha.

Resposta

p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante ao longo da linha de corrente}
\dfrac{p}{\rho} + \tfrac{1}{2}v^{2} + g z = \text{constante ao longo da linha de corrente}

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