2- Questão:
Demostrar a equação de Bernoulli aplicada a mecânica dos fluídos.
Demostrar a equação de Bernoulli aplicada a mecânica dos fluídos.
Passo 1
O enunciado pede: demonstrar a equação de Bernoulli aplicada à mecânica dos fluidos.
Informações relevantes / condições que vamos considerar (condições padrão para a forma clássica de Bernoulli):
Informações relevantes / condições que vamos considerar (condições padrão para a forma clássica de Bernoulli):
- Fluxo estacionário (steady): as grandezas não dependem do tempo.
- Fluido incompressível:
é constante. - Fluido não viscoso (invísido): não há tensões viscosas (somente pressão e forças de volume atuam).
- Análise ao longo de uma mesma linha de corrente (streamline).
Objetivo final: obter a relação que é constante ao longo de uma linha de corrente, mostrando claramente o que cada termo representa.
Passo 2
Definir o elemento de fluido e as variáveis usadas.
- Considere um filamento de fluido ao longo de uma linha de corrente, com comprimento diferencial
. - Denotar por
a pressão no ponto cujo parâmetro ao longo da linha de corrente é . - Denotar por
a velocidade do fluido (módulo) nesse ponto. - Denotar por
a densidade (constante, pois o fluido é incompressível). - Usar
para a coordenada vertical (positiva para cima).
Vou trabalhar com as forças por unidade de volume e a aceleração do fluido para escrever o balanço de forças (equação de movimento) sobre esse elemento.
Passo 3
Escrever a equação de movimento para um fluido invísido (equação de Euler) e explicar cada termo.
A forma geral (vetorial) da equação de Euler é:
A forma geral (vetorial) da equação de Euler é:
Explicação dos termos:
-
é a densidade do fluido (massa por volume). -
é o vetor velocidade do fluido; é a variação local no tempo (zero para fluxo estacionário). -
é a derivada convectiva (variação da velocidade ao longo do movimento do fluido) — descreve aceleração devido à mudança de velocidade ao longo do caminho. -
é a força por unidade de volume devido a gradiente de pressão. -
é a força por unidade de volume devido à gravidade (com se é vertical para cima).
Passo 4
Simplificar para fluxo estacionário e projetar a equação ao longo da linha de corrente.
Como o fluxo é estacionário, . Resta:
Como o fluxo é estacionário,
Agora projetar essa equação na direção tangente à linha de corrente (direção
). A componente tangencial do termo convectivo pode ser entendida intuitivamente: se
é o módulo da velocidade ao longo da linha de corrente, a aceleração tangencial é
Portanto, multiplicando a equação vetorial por
e usando isso, obtemos a forma escalar ao longo de
:
Passo 5
Expressar a componente da gravidade ao longo de
em termos de
.
Tomando positivo para cima e
, a componente de
ao longo de
é
Tomando
pois
. Substituindo isso na equação escalar do passo anterior:
Passo 6
Reorganizar para escrever como derivada total de uma soma e integrar.
Colocando todos os termos no lado esquerdo:
Colocando todos os termos no lado esquerdo:
Note que cada termo é a derivada em relação a
de uma quantidade simples:
-
. -
.
Portanto a equação pode ser escrita como
Integrando ao longo da linha de corrente (ou simplesmente reconhecendo que a derivada é zero) obtemos:
Passo 7
Interpretar fisicamente cada termo e apresentar a forma por unidade de massa.
-
é a energia por unidade de volume associada à pressão (ou “energia de pressão”). -
é a energia cinética por unidade de volume. -
é a energia potencial gravitacional por unidade de volume.
É comum também dividir tudo porpara obter a forma por unidade de massa (mais usada em muitos exercícios e em hidráulica):
Essa é a forma clássica de Bernoulli para fluxo estacionário, incompressível e invísido.
Passo 8
Observações sobre hipóteses e limitações (para saber quando aplicar na prova).
- Se houver viscosidade importante (esforços de cisalhamento), perdas por atrito fazem com que o lado esquerdo não seja constante; aparece uma termo de perda.
- Se o fluido for compressível com variações significativas de densidade, a forma simples acima não vale; deve-se usar formas mais gerais envolvendo entalpia.
- Se o fluxo for não estacionário (
), surge um termo extra temporal na derivada material e a forma simples não se aplica. - A versão que deduzimos vale ao longo de uma mesma linha de corrente; para uma região irrotacional a constante é a mesma em toda a região, não só numa linha.