Questão 3 ( \mathbf{2 , 0} pontos)

Para água a 200^{\circ} \mathrm{C} e com volume específico de 0,50 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}, determine a derivada parcial (\partial s / \partial \vartheta)_{T} utilizando a equação de Redlich-Kwong e a equação de Maxwell apropriada. Para R , utilize 8314 \mathrm{~J} / \mathrm{kmol} \cdot \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial
\bigl(\partial s/\partial v\bigr)_{T}
para água a 200^\circ\mathrm{C} e volume específico v=0,50\;\mathrm{m^3/kg}, usando a equação de Redlich–Kwong (RK) e a relação de Maxwell apropriada. Vamos precisar de:
  1. A relação de Maxwell que liga \bigl(\partial s/\partial v\bigr)_{T} a derivada de pressão.
  2. A equação de estado de Redlich–Kwong e suas constantes a e b.
  3. Os valores críticos da água T_c e P_c e a massa molar para converter unidades.

Passo 2

A relação de Maxwell relevante é
\Bigl(\frac{\partial s}{\partial v}\Bigr)_{T} = \Bigl(\frac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{v}.
Isto significa que, para achar \bigl(\partial s/\partial v\bigr)_T, basta calcular \bigl(\partial p/\partial T\bigr)_v na equação de RK.

Passo 3

A equação de Redlich–Kwong em forma molar é
p \;=\; \frac{R\,T}{v - b} \;-\; \frac{a}{\sqrt{T}\;v\,(v+b)},
onde
a \;=\; 0{,}42748\,\frac{R^2\,T_c^{2.5}}{P_c}, \quad b \;=\; 0{,}08664\,\frac{R\,T_c}{P_c}.
Aqui R=8314\;\mathrm{J/(kmol\cdot K)}, T em K, v em \mathrm{m^3/kmol}, p em Pa.

Passo 4

Para água,
T_c = 647{,}1\;\mathrm{K}, \quad P_c = 22{,}064\times10^6\;\mathrm{Pa}, \quad M = 18\;\mathrm{kg/kmol}.
O volume específico dado é v_{\rm sp}=0{,}50\;\mathrm{m^3/kg}, então o volume molar é
v = M\;v_{\rm sp} = 18\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{kmol}}\times0{,}50\;\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{kg}} =9{,}0\;\mathrm{m^3/kmol}.

Passo 5

Calculamos a e b:
b = 0{,}08664\,\frac{8314\times647{,}1}{22{,}064\times10^6} \approx0{,}02113\;\mathrm{m^3/kmol},
a = 0{,}42748\,\frac{8314^2\times(647{,}1)^{2{,}5}}{22{,}064\times10^6} \approx1{,}427\times10^7\;\mathrm{Pa\;m^6/kmol^2}.

Passo 6

Derivamos p=p(T,v) em relação a T a volume constante:
\Bigl(\frac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{v} = \frac{\partial}{\partial T}\!\Bigl[\frac{R\,T}{v-b}\Bigr] - \frac{\partial}{\partial T}\!\Bigl[\frac{a}{\sqrt{T}\;v\,(v+b)}\Bigr].
Isso dá
\Bigl(\frac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{v} = \frac{R}{v-b} + \frac{a}{2\,v\,(v+b)\,T^{3/2}}.

Passo 7

Agora substituímos T=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\;\mathrm{K}, v=9{,}0\;\mathrm{m^3/kmol}, a e b:
\frac{R}{v-b} = \frac{8314}{9{,}0-0{,}02113} \approx926{,}0\;\mathrm{Pa/K},
\frac{a}{2\,v\,(v+b)\,T^{3/2}} = \frac{1{,}427\times10^7}{2\times9{,}0\times9{,}02113\times(473{,}15)^{1{,}5}} \approx8{,}5\;\mathrm{Pa/K}.

Passo 8

Somando os dois termos, obtemos
\Bigl(\frac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{v} \approx926{,}0 + 8{,}5 = 934{,}5\;\mathrm{Pa/K}.

Resposta

\Bigl(\frac{\partial s}{\partial v}\Bigr)_{T} = \Bigl(\frac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{v} \approx 934{,}5\;\mathrm{Pa/K}.

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