QUESTÃO 3 ( \mathbf{3 , 0} pontos) - Um cilindro-pistão possui ar em seu interior, além de um agitador que mantém sua condição uniforme. A massa no interior do cilindro é 0,2 \mathrm{~kg} \mathrm{e} \mathrm{a} temperatura inicial 320 K . Durante um processo a pressão constante e com o agitador funcionando, são transferidos para o ar 20 kJ de energia na forma de calor, o que resulta em uma temperatura final 450 K .
Determinar o trabalho realizado pelo agitador sobre o ar ( \mathbf{1 , 5} pontos)

Passo 1

Enunciado e o que se pede:\n
  • Dados fornecidos: \n
    m=0,2\\ \mathrm{kg} (massa de ar),\n
    T_1=320\\ \mathrm{K} (temperatura inicial),\n
    T_2=450\\ \mathrm{K} (temperatura final),\n
    Q=20\\ \mathrm{kJ} (calor transferido para o ar durante o processo a pressão constante, com agitador funcionando).\n
  • O que se pede: \n
    Determinar o trabalho realizado pelo agitador sobre o ar (isto é, o trabalho feito pelo agitador para dentro do sistema durante o processo).

Passo 2

Escrevendo o balanço de energia (Primeira Lei) para o sistema fechado (o ar dentro do cilindro):\n
Quando há calor Q entrando e trabalho de eixo (agitador) entrando no sistema, e ainda trabalho de fronteira (PV) saindo quando o gás realiza expansão, a forma conveniente do balanço é
Q + W_{\text{agitador}} = \Delta U + W_{PV}.
Expliquei cada termo:\n
  • Q é o calor transferido para o sistema (positivo quando entra).\n
  • W_{\text{agitador}} é o trabalho feito pelo agitador sobre o ar (positivo quando o agitador fornece energia ao ar).\n
  • \Delta U é a variação da energia interna do ar (energia armazenada microscopicamente).\n
  • W_{PV} é o trabalho de pressão-volume realizado pelo gás sobre o ambiente (positivo quando o gás executa trabalho ao expandir).
Queremos isolar W_{\text{agitador}}:
W_{\text{agitador}} = \Delta U + W_{PV} - Q.

Passo 3

Como calcular \Delta U: para um gás ideal a variação de energia interna depende só da temperatura e vale
\Delta U = m\,c_v\,(T_2-T_1),
onde:\n
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),\n
  • c_v é a capacidade térmica a volume constante (em \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;K^{-1}}),\n
  • T_1,T_2 são temperaturas (em K).\n
    Para o ar (gás diatômico aproximado) usamos o valor típico
c_v = 0,718\\ \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;K^{-1}}.
(Isto é um valor padrão para ar seco em condições próximas à temperatura ambiente; se a prova não der c_v, este é o valor usualmente adotado.)

Passo 4

Como calcular W_{PV} em processo a pressão constante:\n
O trabalho de fronteira (PV) é
W_{PV}=\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V.
Se p é constante, então W_{PV}=p\,(V_2-V_1). Usando a equação do gás ideal pV=mRT obtemos
p\,(V_2-V_1)=mR(T_2-T_1),
logo
W_{PV}=m\,R\,(T_2-T_1),
onde R é a constante específica do ar. Para o ar
R = 0,287\\ \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;K^{-1}}.
(Outra relação útil é c_p-c_v=R, mas aqui usamos diretamente R.)

Passo 5

Calcule a variação de temperatura:\n
T_2-T_1 = 450 - 320 = 130\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcule \Delta U passo a passo:\n
Primeiro calcule c_v\,(T_2-T_1):
0,718 \cdot 130 = 93,34\\ \mathrm{kJ\;kg^{-1}}.
Agora \Delta U = m\cdot (c_v\,(T_2-T_1)):
\Delta U = 0,2 \cdot 93,34 = 18,668\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Calcule W_{PV} passo a passo:\n
Primeiro calcule R\,(T_2-T_1):
0,287 \cdot 130 = 37,31\\ \mathrm{kJ\;kg^{-1}}.
Agora W_{PV} = m\cdot (R\,(T_2-T_1)):
W_{PV} = 0,2 \cdot 37,31 = 7,462\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Use a equação do balanço para achar W_{\text{agitador}}:\n
W_{\text{agitador}} = \Delta U + W_{PV} - Q.
Substituindo os valores:
W_{\text{agitador}} = 18,668 + 7,462 - 20 = 6,130\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando para duas casas decimais (valor apropriado aos dados):
W_{\text{agitador}} \approx 6,13\\ \mathrm{kJ}.

Passo 9

Interpretação rápida e incentivo:\n
O resultado positivo significa que o agitador realmente forneceu energia ao ar (trabalho sobre o sistema) além do calor fornecido. Você fez certo: somamos a variação interna e o trabalho de expansão e subtraímos o calor que entrou — a diferença é o trabalho extra do agitador. Tá indo bem — esse tipo de balanço é padrão em termodinâmica; com prática fica automático!

Resposta

W_{\text{agitador}} = 6,13\\ \mathrm{kJ}

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