Questão 2: ( 2.0 pontos) Vapor d’água em um conjunto pistão-cilindro passa por um processo politrópico, com \mathrm{n}=1, de um estado inicial onde \forall_{1}=2 \mathrm{ft}^{3}, p_{1}=450 \mathrm{psi}, e u_{1}= 1300 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb} para um estado final onde \mathrm{u}_{2}=1036 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb} e v_{2}=3,4 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{lb}. A massa de água é 1,14 \mathrm{lb}. Desprezando as variações na energia cinética e potencial, determine as transferências de energia por trabalho e transferência de calor, cada uma em Btu.

Passo 1

O enunciado pede as transferências de energia por trabalho e por calor (cada uma em Btu) para um sistema pistão‑cilindro com os dados abaixo. Vou listar os dados fornecidos de forma clara:
V_1 = 2\\ \mathrm{ft}^3,\quad p_1 = 450\\ \mathrm{psi},\quad u_1 = 1300\\ \mathrm{Btu/lb},
u_2 = 1036\\ \mathrm{Btu/lb},\quad v_2 = 3{,}4\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb},\quad m = 1{,}14\\ \mathrm{lb}.
Condições adicionais dadas: o processo é politrópico com n=1 e as variações de energia cinética e potencial são desprezadas.
As incógnitas são:
\text{Trabalho } W \\ (\text{transferência por trabalho, em Btu})ê
\text{Calor } Q \\ (\text{transferência por calor, em Btu})ê

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vou usar (aula rápida e prática):
  • Primeira lei para sistema fechado, desprezando energia cinética e potencial: a variação de energia interna \Delta U do sistema é a diferença entre o calor trocado e o trabalho realizado pelo sistema:
\Delta U = Q - W.
Aqui \Delta U = m\,(u_2-u_1). Então, isolando Q,
Q = \Delta U + W = m\,(u_2-u_1) + W.
  • Para o trabalho de fronteira em um processo politrópico fechado, o trabalho é
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV.
No caso n=1 (politrópico com p\,v= constante, equivalente a processo isoterma em termos de p vs v), temos p\,v=\text{const}=C. Usando volumes específicos v e massa m, a integral vira
W = m\int_{v_1}^{v_2} \frac{C}{v}\,dv = m\,C\ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
Como C=p_1 v_1 e m v_1 = V_1, uma forma prática é
W = p_1 V_1 \ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
Observação de unidades: p_1 foi dado em \mathrm{psi}=\mathrm{lbf/in}^2, vou converter para \mathrm{lbf/ft}^2 (multiplicar por 144) para que p_1 V_1 fique em \mathrm{ft\cdot lbf}. Depois converto \mathrm{ft\cdot lbf} para \mathrm{Btu} usando 1\\ \mathrm{Btu}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.

Passo 3

Calcular o volume específico inicial v_1 (porque nos foi dado V_1 e a massa m):
v_1=\frac{V_1}{m}=\frac{2\\ \mathrm{ft}^3}{1{,}14\\ \mathrm{lb}}=\frac{2}{1{,}14}\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}=\frac{100}{57}\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}\approx 1{,}754385965\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.

Passo 4

Converter a pressão inicial para \mathrm{lbf/ft}^2:
p_1 = 450\\ \mathrm{psi}=450\times 144\\ \mathrm{lbf/ft}^2 = 64\,800\\ \mathrm{lbf/ft}^2.

Passo 5

Calcular o trabalho W usando a fórmula para n=1:
W = p_1 V_1 \ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
Substituindo valores (primeiro calculo p_1V_1 em \mathrm{ft\cdot lbf}):
p_1V_1 = 64\,800\\ \mathrm{lbf/ft}^2 \times 2\\ \mathrm{ft}^3 = 129\,600\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.
A razão dos volumes específicos:
\frac{v_2}{v_1}=\frac{3{,}4}{100/57}=3{,}4\cdot\frac{57}{100}=1{,}938.
O logaritmo natural:
\ln\!\left(1{,}938\right)\approx 0{,}661998\quad(\text{aproximação numérica}).çãé
Portanto o trabalho em \mathrm{ft\cdot lbf} é
W = 129\,600\times 0{,}661998 \approx 85\,794{,}94\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.
Converto para \mathrm{Btu} dividindo por 778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf/Btu}:
W = \frac{85\,794{,}94}{778{,}169}\\ \mathrm{Btu}\approx 110{,}3\\ \mathrm{Btu}.
Interpretação: W>0 significa trabalho realizado pelo sistema (energia saída por trabalho).

Passo 6

Calcular a variação de energia interna \Delta U:
\Delta U = m\,(u_2-u_1)=1{,}14\left(1036-1300\right)\\ \mathrm{Btu}=1{,}14\times(-264)\\ \mathrm{Btu}=-300{,}96\\ \mathrm{Btu}.
Interpretação: \Delta U<0 indica que a energia interna do vapor diminuiu.

Passo 7

Usar a primeira lei para obter Q:
Q=\Delta U + W = -300{,}96\\ \mathrm{Btu} + 110{,}3\\ \mathrm{Btu}\approx -190{,}7\\ \mathrm{Btu}.
Interpretação: Q<0 significa que houve liberação de calor (calor saindo do sistema) de aproximadamente 190{,}7\\ \mathrm{Btu}.

Resposta

W = 110{,}3\\ \mathrm{Btu}
Q = -190{,}7\\ \mathrm{Btu}

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