QUESTÃO 3 (3 pontos) - Considere um taque de água, rígido, que contém 12 litros de água inicialmente a temperatura 100^{\circ} \mathrm{C} e título 10 \%. A água é então aquecida, sem que ocorra vazamentos até a condição de temperatura 150^{\circ} \mathrm{C}. Determinar:
e) A transferência de calor necessária para o processo

Passo 1

O enunciado dá um tanque rígido (volume constante) com água total de 12 litros inicialmente a 100^\circ\mathrm{C} com título (qualidade) x_1=0{,}10. A água é aquecida, sem vazamento, até 150^\circ\mathrm{C}. A pergunta (item e) é: determinar a transferência de calor necessária para o processo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;V_{\text{total}} = 12\\ \text{L} = 0{,}012\\ \mathrm{m^3}.
\;T_1 = 100^\circ\mathrm{C},\\ x_1 = 0{,}10.
\;T_2 = 150^\circ\mathrm{C}.
Condições físicas importantes: tanque rígido \Rightarrow volume total constante, massa total constante, trabalho de fronteira W=0 (pois W=\int P\,dV e dV=0). Portanto a energia trocada Q do processo fechado está ligada à variação de energia interna do fluido.

Passo 2

Estratégia e fórmulas básicas (explicadas): como o sistema é fechado e rígido, a primeira lei para processo sem trabalho de fronteira reduz para
Q = \Delta U = m\,(u_2 - u_1),
onde m é a massa total do conteúdo do tanque e u é a energia interna específica (energia interna por unidade de massa). Para aplicar essa fórmula precisamos de três coisas: a massa total m, a energia interna específica inicial u_1 e a energia interna específica final u_2.
Como o fluido passa por regiões de duas fases, vamos usar as propriedades de água (tabelas de vapor saturado) para obter volumes específicos v_f,v_g e entalpias ou energias internas nas temperaturas dadas. Se só tivermos entalpias de tabela, lembramos que
u = h - P\,v,
onde P é a pressão de saturção (em kPa) e v é o volume específico (em \mathrm{m^3/kg}); para obter P v em \mathrm{kJ/kg} usamos P\,v/1000 quando P está em kPa. Vou citar os valores que usei a partir da tabela de vapor saturado (valores tabulados padrão).

Passo 3

Calcular o volume específico inicial e a massa total usando propriedades na saturação a 100^\circ\mathrm{C}. Valores da tabela de vapor saturado em 100^\circ\mathrm{C} (usados aqui):
v_f(100^\circ\mathrm{C}) = 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg},
v_g(100^\circ\mathrm{C}) = 1{,}6720\\ \mathrm{m^3/kg}.
O volume específico médio (mistura) é
v_1 = v_f + x_1\,(v_g - v_f).
Substituindo:
v_1 = 0{,}001043 + 0{,}10\,(1{,}6720 - 0{,}001043) = 0{,}001043 + 0{,}10\cdot 1{,}670957 = 0{,}1681387\\ \mathrm{m^3/kg}.
A massa total do fluido é
m = \frac{V_{\text{total}}}{v_1} = \frac{0{,}012\\ \mathrm{m^3}}{0{,}1681387\\ \mathrm{m^3/kg}} \approx 0{,}07137\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Identificar a fase final e calcular a qualidade final x_2. Como o volume do tanque é fixo, o volume específico final v_2 é igual a v_1:
v_2 = v_1 = 0{,}1681387\\ \mathrm{m^3/kg}.
Agora consultamos as propriedades de saturação a 150^\circ\mathrm{C} (valores da tabela usados aqui):
v_f(150^\circ\mathrm{C}) = 0{,}001091\\ \mathrm{m^3/kg},
v_g(150^\circ\mathrm{C}) = 0{,}3928\\ \mathrm{m^3/kg}.
Comparando: v_f(150^\circ\mathrm{C}) < v_2 < v_g(150^\circ\mathrm{C}), isto é, o estado final é novamente uma mistura saturada (não é líquido comprimido nem vapor superaquecido). Logo podemos obter a nova qualidade x_2 por
x_2 = \frac{v_2 - v_f(150^\circ\mathrm{C})}{v_g(150^\circ\mathrm{C}) - v_f(150^\circ\mathrm{C})}.
Substituindo:
x_2 = \frac{0{,}1681387 - 0{,}001091}{0{,}3928 - 0{,}001091} = \frac{0{,}1670477}{0{,}391709} \approx 0{,}4265.

Passo 5

Obter as energias internas específicas iniciais e finais. Vou usar entalpias tabuladas e a relação u=h-Pv (convertendo P em kPa e Pv/1000 em kJ/kg). Valores de saturação usados da tabela:
Em 100^\circ\mathrm{C}:
h_f(100^\circ\mathrm{C}) = 419{,}04\\ \mathrm{kJ/kg}, \quad h_g(100^\circ\mathrm{C}) = 2675{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}, \quad P_{sat}(100^\circ\mathrm{C}) = 101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
Calculamos u_f e u_g em 100^\circ\mathrm{C}:
u_f(100) = h_f(100) - \frac{P_{sat}(100)\,v_f(100)}{1000} = 419{,}04 - \frac{101{,}325\cdot 0{,}001043}{1000} \approx 418{,}934\\ \mathrm{kJ/kg},
u_g(100) = h_g(100) - \frac{P_{sat}(100)\,v_g(100)}{1000} = 2675{,}6 - \frac{101{,}325\cdot 1{,}6720}{1000} \approx 2506{,}21\\ \mathrm{kJ/kg}.
Energia interna específica inicial da mistura:
u_1 = u_f(100) + x_1\,[u_g(100)-u_f(100)] = 418{,}934 + 0{,}10\,(2506{,}21 - 418{,}934) \approx 627{,}662\\ \mathrm{kJ/kg}.
Em 150^\circ\mathrm{C}:
h_f(150^\circ\mathrm{C}) \approx 631{,}70\\ \mathrm{kJ/kg}, \quad h_g(150^\circ\mathrm{C}) \approx 2722{,}70\\ \mathrm{kJ/kg}, \quad P_{sat}(150^\circ\mathrm{C}) \approx 476{,}2\\ \mathrm{kPa}.
(estes são valores padrão de tabela para 150^\circ\mathrm{C}, usados aqui para cálculo). Calculamos u_f e u_g em 150^\circ\mathrm{C}:
u_f(150) = h_f(150) - \frac{P_{sat}(150)\,v_f(150)}{1000} = 631{,}70 - \frac{476{,}2\cdot 0{,}001091}{1000} \approx 631{,}18\\ \mathrm{kJ/kg},
u_g(150) = h_g(150) - \frac{P_{sat}(150)\,v_g(150)}{1000} = 2722{,}70 - \frac{476{,}2\cdot 0{,}3928}{1000} \approx 2535{,}50\\ \mathrm{kJ/kg}.
Energia interna específica final da mistura:
u_2 = u_f(150) + x_2\,[u_g(150)-u_f(150)] = 631{,}18 + 0{,}4265\,(2535{,}50 - 631{,}18) \approx 1443{,}18\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular a transferência de calor Q. Primeiro a variação da energia interna específica:
\Delta u = u_2 - u_1 \approx 1443{,}18 - 627{,}662 = 815{,}52\\ \mathrm{kJ/kg}.
Multiplicando pela massa m obtida no Passo 3:
Q = m\,\Delta u = 0{,}07137\\ \mathrm{kg}\times 815{,}52\\ \mathrm{kJ/kg} \approx 58{,}2\\ \mathrm{kJ}.
O sinal positivo indica calor adicionado ao sistema (aquecer).

Resposta

Q \approx 58{,}2\\ \mathrm{kJ}

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