06 - Encontre a relação entre T, P e { }^{\ell Y} para um sistema com a equação fundamental: U=\frac{v_{0} \theta}{R^{3}} \frac{S^{4}}{N V^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação fundamental
U=\frac{v_{0}\,\theta}{R^{3}}\frac{S^{4}}{N\,V^{2}}
e pede que eu encontre a relação entre T, P e {}^{\ell}Y. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • U é dada como função de (S,V,N) (então S, V e N são as variáveis independentes).
  • v_{0}, \theta e R são constantes; posso juntar essas constantes num único coeficiente para simplificar as contas.
  • A pergunta é: obter as expressões (e depois as relações entre) T, P e {}^{\ell}Y.

Passo 2

Relembrando as definições termodinâmicas (essas são as fórmulas que vou usar; explico cada uma):
  • A temperatura T é a derivada parcial de U em relação a S, mantendo V e N constantes:
T=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}.
Isto quer dizer: pego U(S,V,N) e derivo em relação a S, tratando V e N como constantes.
  • A pressão P é dada por:
P=-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}.
O sinal menos aparece porque a pressão é a variável conjugada a V com sinal oposto na energia interna.
  • A variável intensa conjugada a N (que aqui o enunciado chama de {}^{\ell}Y) é
{}^{\ell}Y=\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V}.
Isto é a derivada de U em relação a N, mantendo S e V fixos.
Para simplificar os cálculos, defino a constante
A \equiv \frac{v_{0}\,\theta}{R^{3}}.
Assim
U = A\,\frac{S^{4}}{N\,V^{2}} = A\,S^{4} N^{-1} V^{-2}.

Passo 3

Calcular T. Vou derivar U em relação a S usando a regra do poder: se f(S)=S^{4} então f'(S)=4S^{3}. Como A, N^{-1} e V^{-2} são constantes em relação a S,
\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = A \cdot 4S^{3} \cdot N^{-1} V^{-2}.
Portanto
T = 4A\,\frac{S^{3}}{N\,V^{2}}.
Interpretação prática: T cresce com S^{3} e decresce com N e com V^{2}.

Passo 4

Calcular P. Derivo U em relação a V. Aqui uso a regra para potência: se g(V)=V^{-2} então g'(V)=-2V^{-3}. Mantendo S e N fixos,
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = A\,S^{4} N^{-1} \cdot (-2)V^{-3} = -2A\,\frac{S^{4}}{N\,V^{3}}.
Aplicando o sinal menos da definição de P,
P = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = -\bigg(-2A\,\frac{S^{4}}{N\,V^{3}}\bigg) = 2A\,\frac{S^{4}}{N\,V^{3}}.

Passo 5

Calcular {}^{\ell}Y. Derivo U em relação a N. Para h(N)=N^{-1} temos h'(N)=-1\cdot N^{-2}. Mantendo S e V constantes,
\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} = A\,S^{4} \cdot (-1) N^{-2} V^{-2} = -A\,\frac{S^{4}}{N^{2}V^{2}}.
Logo
{}^{\ell}Y = -A\,\frac{S^{4}}{N^{2}V^{2}}.

Passo 6

Agora obtenho relações entre T, P e {}^{\ell}Y eliminando S, N e V quando possível. Vou usar as expressões já encontradas:
T = 4A\,\frac{S^{3}}{N\,V^{2}}, \qquad P = 2A\,\frac{S^{4}}{N\,V^{3}}, \qquad {}^{\ell}Y = -A\,\frac{S^{4}}{N^{2}V^{2}}.
Primeira relação: dividir P por T:
\frac{P}{T} = \frac{2A\,\dfrac{S^{4}}{N\,V^{3}}}{4A\,\dfrac{S^{3}}{N\,V^{2}}} = \frac{2}{4}\cdot\frac{S^{4}}{S^{3}}\cdot\frac{V^{2}}{V^{3}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{S}{V}.
Assim
P = \frac{S}{2V}\,T.
Segunda relação: dividir {}^{\ell}Y por T:
\frac{{}^{\ell}Y}{T} = \frac{-A\,\dfrac{S^{4}}{N^{2}V^{2}}}{4A\,\dfrac{S^{3}}{N\,V^{2}}} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{S^{4}}{S^{3}}\cdot\frac{N}{N^{2}} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{S}{N}.
Logo
{}^{\ell}Y = -\frac{S}{4N}\,T.
Terceira relação: ligar {}^{\ell}Y e P diretamente, dividindo {}^{\ell}Y por P:
\frac{{}^{\ell}Y}{P} = \frac{-A\,\dfrac{S^{4}}{N^{2}V^{2}}}{2A\,\dfrac{S^{4}}{N\,V^{3}}} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{N^{2}}\cdot\frac{N V^{3}}{V^{2}} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{V}{N}.
Portanto
{}^{\ell}Y = -\frac{V}{2N}\,P.
Essas três fórmulas são consistentes entre si (por exemplo, substituindo P da primeira em {}^{\ell}Y = -\frac{V}{2N}P recupera {}^{\ell}Y = -\frac{S}{4N}T) — bom sinal.

Resposta

P=\dfrac{S}{2V}\,T
{}^{\ell}Y=-\dfrac{S}{4N}\,T
{}^{\ell}Y=-\dfrac{V}{2N}\,P

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