06 - Encontre a relação entre T, P e
para um sistema com a equação fundamental:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação fundamental
e pede que eu encontre a relação entre
,
e
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é dada como função de (então , e são as variáveis independentes). -
, e são constantes; posso juntar essas constantes num único coeficiente para simplificar as contas. - A pergunta é: obter as expressões (e depois as relações entre)
, e .
Passo 2
Relembrando as definições termodinâmicas (essas são as fórmulas que vou usar; explico cada uma):
- A temperatura
é a derivada parcial de em relação a , mantendo e constantes:
Isto quer dizer: pego
e derivo em relação a
, tratando
e
como constantes.
- A pressão
é dada por:
O sinal menos aparece porque a pressão é a variável conjugada a
com sinal oposto na energia interna.
- A variável intensa conjugada a
(que aqui o enunciado chama de ) é
Isto é a derivada de
em relação a
, mantendo
e
fixos.
Para simplificar os cálculos, defino a constante
Assim
Passo 3
Calcular
. Vou derivar
em relação a
usando a regra do poder: se
então
. Como
,
e
são constantes em relação a
,
Portanto
Interpretação prática:
cresce com
e decresce com
e com
.
Passo 4
Calcular
. Derivo
em relação a
. Aqui uso a regra para potência: se
então
. Mantendo
e
fixos,
Aplicando o sinal menos da definição de
,
Passo 5
Calcular
. Derivo
em relação a
. Para
temos
. Mantendo
e
constantes,
Logo
Passo 6
Agora obtenho relações entre
,
e
eliminando
,
e
quando possível. Vou usar as expressões já encontradas:
Primeira relação: dividir
por
:
Assim
Segunda relação: dividir
por
:
Logo
Terceira relação: ligar
e
diretamente, dividindo
por
:
Portanto
Essas três fórmulas são consistentes entre si (por exemplo, substituindo
da primeira em
recupera
) — bom sinal.