QUESTĂO 1 (3,5 pontos)
Um tanque rigido, cujo volume é de
, encontra-se inicialmente evacuado. Um orificio se desenvolve na parede, e ar da vizinhança a 1 bar e
é admitido até que a pressão no tanque atinja 1 bar. A transferência de calor entre os conteúdos do tanque e a vizinhança é desprezivel. Assumindo comportamento de gás ideal, determine:
a) ( 2,5 pontos) A temperatura final do ar no interior do tanque, em
.
b) (1,0 ponto) A massa que entra no tanque, em g .
a) ( 2,5 pontos) A temperatura final do ar no interior do tanque, em
b) (1,0 ponto) A massa que entra no tanque, em g .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece os dados abaixo:
- O tanque é rígido (volume constante) e inicialmente está evacuado (massa inicial no tanque é zero).
- Volume do tanque:
. Observação dada: . Portanto . - O ar da vizinhança (reservatório) tem pressão
e temperatura . Em unidades SI: e . - A transferência de calor entre o conteúdo do tanque e a vizinhança é desprezível (
, processo adiabático). - Admitiu-se ar até que a pressão no tanque atinja
(ou seja, pressão final no tanque igual a ). - Assume-se comportamento de gás ideal e podemos usar propriedades típicas do ar: relação de capacidade calorífica
e constante específica .
Perguntas:
(a) Determinar a temperatura final do ar no interior do tanque, em .
(b) Determinar a massa que entra no tanque, em g.
(a) Determinar a temperatura final do ar no interior do tanque, em
(b) Determinar a massa que entra no tanque, em g.
Passo 2
Vamos portar a física passo a passo (sem pânico — é só balanço de energia). Primeiro, pense no conteúdo final do tanque como o sistema: inicialmente não há ar (energia interna inicial é zero); no final há uma massa
de ar com energia interna
. Durante o enchimento, massas de ar entram com as propriedades do reservatório. Aplicamos a primeira lei da termodinâmica para sistema aberto (forma conveniente para processos com entrada de massa):
Explicando a ideia de forma simples:
- Quando uma pequena quantidade de ar entra do reservatório para o tanque, ela carrega consigo entalpia específica
(energia interna mais o trabalho de escoamento). - Não há trabalho útil extra nem troca de calor (
, ) e não há saída de massa. Assim, a energia total acumulada dentro do tanque é a soma das entalpias que entraram.
Formalmente, escrevemos:
Aqui:
-
é a energia interna total final do ar no tanque. -
é a massa final no tanque. -
é a entalpia específica do ar no reservatório (condições iniciais do fluido que entra).
Como a energia interna total final é
, temos:
Essa é uma igualdade entre propriedades específicas: a energia interna por unidade de massa no estado final do tanque vale a entalpia específica do ar no reservatório.
Passo 3
Agora usemos as relações de gás ideal e definições termodinâmicas (explicando cada símbolo):
-
= energia interna específica (J/kg). Para gás ideal, depende só da temperatura: , onde é a capacidade térmica a volume constante (J/kg·K) e é a temperatura em K. -
= entalpia específica (J/kg). Para gás ideal, , onde é a capacidade térmica a pressão constante (J/kg·K). - A relação entre
, e é . A razão .
Usando
e as fórmulas acima:
Dividindo ambos os lados por
:
Conclusão importante (que vale para este problema): a temperatura final no tanque é
Isso é um resultado clássico: ao encher adiabaticamente um vaso rígido inicialmente vazio a partir de um reservatório, a temperatura final do gás no vaso é
vezes a temperatura do reservatório (para gás ideal sem considerações de energia cinética exterior).
Passo 4
Substituindo números:
-
. -
(ar).
Então
Converter para graus Celsius:
(Arremate amigável: deu uma temperatura bem maior que a do ambiente — normal, porque a energia de escoamento foi convertida em energia interna ao parar o ar dentro do tanque.)
Passo 5
Agora calculamos a massa que entrou usando a equação dos gases ideais no estado final do tanque:
A equação dos gases ideais é
Aqui:
-
é a pressão final no tanque (igual a ). -
é o volume do tanque ( ). -
. -
é a temperatura absoluta final .
Isolando
:
Substituindo os valores numéricos (mostrando contas):
Converter para gramas:
Passo 6
Resumo físico-interpretativo rápido (só pra te animar): entrou pouca massa porque o tanque é pequeno e a temperatura final é alta (a alta temperatura reduz a densidade final). O aquecimento é resultado irreversível do escoamento parando dentro do tanque — é por isso que a temperatura final fica bem acima de
.
Resposta
(a)
(b)