QUESTĂO 1 (3,5 pontos)

Um tanque rigido, cujo volume é de 10 \mathrm{~L}\left(1.000 \mathrm{~L}=1 \mathrm{~m}^{3}\right), encontra-se inicialmente evacuado. Um orificio se desenvolve na parede, e ar da vizinhança a 1 bar e 27^{\circ} \mathrm{C} é admitido até que a pressão no tanque atinja 1 bar. A transferência de calor entre os conteúdos do tanque e a vizinhança é desprezivel. Assumindo comportamento de gás ideal, determine:
a) ( 2,5 pontos) A temperatura final do ar no interior do tanque, em { }^{\circ} \mathrm{C}.
b) (1,0 ponto) A massa que entra no tanque, em g .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece os dados abaixo:
  • O tanque é rígido (volume constante) e inicialmente está evacuado (massa inicial no tanque é zero).
  • Volume do tanque: V=10\\ \mathrm{L}. Observação dada: 1.000\\ \mathrm{L}=1\\ \mathrm{m}^3. Portanto V=10\\ \mathrm{L}=0,01\\ \mathrm{m}^3.
  • O ar da vizinhança (reservatório) tem pressão P_0=1\\ \text{bar} e temperatura 27^\circ\mathrm{C}. Em unidades SI: P_0=1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e T_0=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}.
  • A transferência de calor entre o conteúdo do tanque e a vizinhança é desprezível ( Q\approx0, processo adiabático).
  • Admitiu-se ar até que a pressão no tanque atinja P=1\\ \text{bar} (ou seja, pressão final no tanque igual a P_0).
  • Assume-se comportamento de gás ideal e podemos usar propriedades típicas do ar: relação de capacidade calorífica \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}\approx1{,}4 e constante específica R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Perguntas:
(a) Determinar a temperatura final do ar no interior do tanque, em ^\circ\mathrm{C}.
(b) Determinar a massa que entra no tanque, em g.

Passo 2

Vamos portar a física passo a passo (sem pânico — é só balanço de energia). Primeiro, pense no conteúdo final do tanque como o sistema: inicialmente não há ar (energia interna inicial é zero); no final há uma massa m de ar com energia interna U_f=m\,u(T_f). Durante o enchimento, massas de ar entram com as propriedades do reservatório. Aplicamos a primeira lei da termodinâmica para sistema aberto (forma conveniente para processos com entrada de massa):
Explicando a ideia de forma simples:
  • Quando uma pequena quantidade de ar entra do reservatório para o tanque, ela carrega consigo entalpia específica h_0 (energia interna mais o trabalho de escoamento).
  • Não há trabalho útil extra nem troca de calor ( W=0, Q=0) e não há saída de massa. Assim, a energia total acumulada dentro do tanque é a soma das entalpias que entraram.
Formalmente, escrevemos:
U_f = m\,h_0.
Aqui:
  • U_f é a energia interna total final do ar no tanque.
  • m é a massa final no tanque.
  • h_0 é a entalpia específica do ar no reservatório (condições iniciais do fluido que entra).
Como a energia interna total final é U_f=m\,u(T_f), temos:
m\,u(T_f)=m\,h_0 \quad\Rightarrow\quad u(T_f)=h_0.
Essa é uma igualdade entre propriedades específicas: a energia interna por unidade de massa no estado final do tanque vale a entalpia específica do ar no reservatório.

Passo 3

Agora usemos as relações de gás ideal e definições termodinâmicas (explicando cada símbolo):
  • u = energia interna específica (J/kg). Para gás ideal, depende só da temperatura: u=c_v T, onde c_v é a capacidade térmica a volume constante (J/kg·K) e T é a temperatura em K.
  • h = entalpia específica (J/kg). Para gás ideal, h=c_p T, onde c_p é a capacidade térmica a pressão constante (J/kg·K).
  • A relação entre c_p, c_v e R é c_p-c_v=R. A razão \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}.
Usando u(T_f)=h_0 e as fórmulas acima:
c_v T_f = c_p T_0.
Dividindo ambos os lados por c_v:
T_f = \frac{c_p}{c_v}\,T_0 = \gamma\,T_0.
Conclusão importante (que vale para este problema): a temperatura final no tanque é
T_f=\gamma\,T_0.
Isso é um resultado clássico: ao encher adiabaticamente um vaso rígido inicialmente vazio a partir de um reservatório, a temperatura final do gás no vaso é \gamma vezes a temperatura do reservatório (para gás ideal sem considerações de energia cinética exterior).

Passo 4

Substituindo números:
  • T_0=300\\ \mathrm{K}.
  • \gamma=1{,}4 (ar).
Então
T_f=\gamma T_0=1{,}4\times300\\ \mathrm{K}=420\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius:
T_f(^{\circ}\mathrm{C})=T_f(\mathrm{K})-273{,}15=420-273{,}15=146{,}85^\circ\mathrm{C}.
(Arremate amigável: deu uma temperatura bem maior que a do ambiente — normal, porque a energia de escoamento foi convertida em energia interna ao parar o ar dentro do tanque.)

Passo 5

Agora calculamos a massa que entrou usando a equação dos gases ideais no estado final do tanque:
A equação dos gases ideais é
P V = m R_{\text{ar}} T.
Aqui:
  • P é a pressão final no tanque (igual a 1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
  • V é o volume do tanque ( 0,01\\ \mathrm{m}^3).
  • R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • T é a temperatura absoluta final T_f=420\\ \mathrm{K}.
Isolando m:
m=\frac{P V}{R_{\text{ar}} T_f}.
Substituindo os valores numéricos (mostrando contas):
P V = 1\times10^{5}\times0,01 = 1000\\ \mathrm{Pa\cdot m^3}=1000\\ \mathrm{J}.
R_{\text{ar}}T_f = 287\times420 = 120540\\ \mathrm{J/kg}.
m=\frac{1000}{120540}\\ \mathrm{kg}\approx0{,}008295\\ \mathrm{kg}.
Converter para gramas:
m\approx0{,}008295\\ \mathrm{kg}\times1000=\;8{,}295\\ \mathrm{g}\approx8{,}30\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Resumo físico-interpretativo rápido (só pra te animar): entrou pouca massa porque o tanque é pequeno e a temperatura final é alta (a alta temperatura reduz a densidade final). O aquecimento é resultado irreversível do escoamento parando dentro do tanque — é por isso que a temperatura final fica bem acima de T_0.

Resposta

(a) T_f=146,85^\circ\mathrm{C}
(b) m=8,30\\ \mathrm{g}

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