QUESTÃO 3 (3,5 pontos)
Ar é admitido em uma turbina a
bar e expande até 5,2 bar. O ar, então, flui através de um bocal e sai a 0,8 bar. A turbina opera sob regime permanente e o fluxo de ar é adiabático. O bocal opera sem irreversibilidades internas e a eficiência isentrópica da turbina é
. A velocidade de entrada e saída do ar é desprezível. Assumindo comportamento de gás ideal para o ar, determine a velocidade de saída do ar do bocal,
.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido):
- Condição de entrada do ar na turbina:
e . - A turbina expande o ar até
. - Em seguida o ar passa por um bocal (nozzle) e sai para
. - A turbina opera em regime permanente e adiabaticamente.
- A eficiência isentrópica (isentropic efficiency) da turbina é
. - O bocal opera sem irreversibilidades internas (isto é, a expansão no bocal é isentrópica).
- As velocidades de entrada e de saída do conjunto turbina+bocal consideradas desprezíveis onde indicado (entrada/saída da turbina inicialmente desprezíveis).
- Assumir comportamento de gás ideal para o ar.
O que é pedido:
- Determinar a velocidade de saída do ar do bocal, em
.
Passo 2
Vamos fixar as hipóteses e constantes que usaremos (explicando por quê).
- Para relações de expansão/compressão isentrópicas e para converter energia térmica em energia cinética usaremos o modelo de gás ideal com calor específico constante. Isso é aceitável em problemas de graduação para obter resposta numérica simples.
- Adotarei os valores usuais para ar perfeito:
- razão de calores específicos
, - constante dos gases
.
- razão de calores específicos
- O calor específico a pressão constante é dado por
Substituindo e obtém-se Em unidades SI para energia cinética usaremos .
Breve lembrete físico:
- Para uma compressão/expansão isentrópica de gás ideal com
constante vale a relação entre temperaturas e pressões - Para uma turbina real definimos a eficiência isentrópica por
onde é entalpia específica; para gás ideal com podemos trocar entalpias por temperaturas proporcionais a .
Passo 3
Calcular a temperatura de saída ideal (isentrópica) da turbina, isto é
, para a expansão de
para
.
Usamos
Substituindo os valores:
Logo
Explicação curta do cálculo: a potência da razão de pressões vem da relação isentrópica
const e da relação
const; essas levam à fórmula acima.
Passo 4
Determinar a temperatura real de saída da turbina
usando a eficiência isentrópica.
Para gás ideal
, logo a definição de eficiência dá
Isolando
:
Substituindo os números:
Interpretação: a turbina não consegue reduzir a temperatura até o caso isentrópico completo; com
a queda efetiva de temperatura é
da queda isentrópica.
Passo 5
Agora o ar entra no bocal (nozzle) com pressão
e temperatura
. O bocal é isentrópico (sem irreversibilidades internas) e expande adiabaticamente até
. Vamos calcular a temperatura de saída do bocal
pela relação isentrópica entre
e
:
Calculemos as razões:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Determinar a velocidade de saída do bocal usando a conversão da queda de entalpia em energia cinética (hipótese: velocidades entrada desprezíveis e nenhuma troca de calor adicional).
Para um bocal isentrópico e adiabático, a energia disponível para velocidade é dada por
Isolando
:
Aqui
em unidades SI é
, e a diferença de temperatura é
Substituindo:
Agora o cálculo numérico:
Passo 7
Verificações e comentários finais (didáticos e práticos):
- Unidade: dentro da raiz temos
, então sai em corretamente. - Principais aproximações feitas:
constante ( ) e constante. Essas são aproximações comuns; para temperaturas muito altas varia, o que daria um número levemente diferente. Para prova de graduação essa abordagem é padrão. - Interpretando o resultado: uma queda de entalpia no bocal transforma energia térmica em energia cinética, e como a queda de temperatura foi grande (~414 K) a velocidade é elevada (~913 m/s).