QUESTÃO 3 (3,5 pontos)

Ar é admitido em uma turbina a 1190 \mathrm{~K}, 10,8 bar e expande até 5,2 bar. O ar, então, flui através de um bocal e sai a 0,8 bar. A turbina opera sob regime permanente e o fluxo de ar é adiabático. O bocal opera sem irreversibilidades internas e a eficiência isentrópica da turbina é 85 \%. A velocidade de entrada e saída do ar é desprezível. Assumindo comportamento de gás ideal para o ar, determine a velocidade de saída do ar do bocal, \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido):
  • Condição de entrada do ar na turbina: T_1 = 1190\\ \mathrm{K} e p_1 = 10,8\\ \mathrm{bar}.
  • A turbina expande o ar até p_2 = 5,2\\ \mathrm{bar}.
  • Em seguida o ar passa por um bocal (nozzle) e sai para p_3 = 0,8\\ \mathrm{bar}.
  • A turbina opera em regime permanente e adiabaticamente.
  • A eficiência isentrópica (isentropic efficiency) da turbina é \eta_t = 85\% = 0,85.
  • O bocal opera sem irreversibilidades internas (isto é, a expansão no bocal é isentrópica).
  • As velocidades de entrada e de saída do conjunto turbina+bocal consideradas desprezíveis onde indicado (entrada/saída da turbina inicialmente desprezíveis).
  • Assumir comportamento de gás ideal para o ar.
O que é pedido:
  • Determinar a velocidade de saída do ar do bocal, em \mathrm{m/s}.

Passo 2

Vamos fixar as hipóteses e constantes que usaremos (explicando por quê).
  • Para relações de expansão/compressão isentrópicas e para converter energia térmica em energia cinética usaremos o modelo de gás ideal com calor específico constante. Isso é aceitável em problemas de graduação para obter resposta numérica simples.
  • Adotarei os valores usuais para ar perfeito:
    • razão de calores específicos \gamma = 1,4,
    • constante dos gases R = 0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • O calor específico a pressão constante é dado por c_p = \frac{\gamma R}{\gamma-1}.Substituindo \gamma=1,4 e R=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} obtém-se c_p = \frac{1{,}4\times 0{,}287}{0{,}4}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.Em unidades SI para energia cinética usaremos c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Breve lembrete físico:
  • Para uma compressão/expansão isentrópica de gás ideal com \gamma constante vale a relação entre temperaturas e pressões T_2 = T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Para uma turbina real definimos a eficiência isentrópica por \eta_t=\frac{h_1-h_{2,\text{real}}}{h_1-h_{2s}},onde h é entalpia específica; para gás ideal com h=c_p T podemos trocar entalpias por temperaturas proporcionais a c_pT.

Passo 3

Calcular a temperatura de saída ideal (isentrópica) da turbina, isto é T_{2s}, para a expansão de p_1 para p_2.
Usamos
T_{2s}=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Substituindo os valores:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{5{,}2}{10{,}8}=0{,}481481\ldots
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots
Logo
T_{2s}=1190\left(0{,}481481\right)^{0{,}285714}\approx 965{,}81\\ \mathrm{K}.
Explicação curta do cálculo: a potência da razão de pressões vem da relação isentrópica pV^\gamma= const e da relação TV^{\gamma-1}= const; essas levam à fórmula acima.

Passo 4

Determinar a temperatura real de saída da turbina T_2 usando a eficiência isentrópica.
Para gás ideal h=c_p T, logo a definição de eficiência dá
\eta_t=\frac{T_1-T_{2}}{T_1-T_{2s}}.
Isolando T_{2}:
T_{2}=T_1-\eta_t\,(T_1-T_{2s}).
Substituindo os números:
T_1-T_{2s}=1190-965{,}81=224{,}19\\ \mathrm{K},
T_{2}=1190-0{,}85\times 224{,}19 \approx 999{,}44\\ \mathrm{K}.
Interpretação: a turbina não consegue reduzir a temperatura até o caso isentrópico completo; com \eta_t=0{,}85 a queda efetiva de temperatura é 85\% da queda isentrópica.

Passo 5

Agora o ar entra no bocal (nozzle) com pressão p_2=5{,}2\\ \mathrm{bar} e temperatura T_2\approx 999{,}44\\ \mathrm{K}. O bocal é isentrópico (sem irreversibilidades internas) e expande adiabaticamente até p_3=0{,}8\\ \mathrm{bar}. Vamos calcular a temperatura de saída do bocal T_3 pela relação isentrópica entre p_2 e p_3:
T_3 = T_2\left(\frac{p_3}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Calculemos as razões:
\frac{p_3}{p_2}=\frac{0{,}8}{5{,}2}=0{,}153846\ldots
Aplicando a fórmula:
T_3 = 999{,}44\left(0{,}153846\right)^{0{,}285714}\approx 585{,}08\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Determinar a velocidade de saída do bocal usando a conversão da queda de entalpia em energia cinética (hipótese: velocidades entrada desprezíveis e nenhuma troca de calor adicional).
Para um bocal isentrópico e adiabático, a energia disponível para velocidade é dada por
\frac{v^2}{2} = c_p\,(T_2-T_3).
Isolando v:
v=\sqrt{2\,c_p\,(T_2-T_3)}.
Aqui c_p em unidades SI é c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, e a diferença de temperatura é
T_2-T_3 = 999{,}44 - 585{,}08 = 414{,}36\\ \mathrm{K}.
Substituindo:
v=\sqrt{2\times 1005\times 414{,}36}\\ \mathrm{m/s}.
Agora o cálculo numérico:
2\times 1005\times 414{,}36 = 2010\times 414{,}36 \approx 832\,850{,}3
v\approx \sqrt{832\,850{,}3}\approx 912{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificações e comentários finais (didáticos e práticos):
  • Unidade: dentro da raiz temos \mathrm{J/kg} = \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2, então v sai em \mathrm{m/s} corretamente.
  • Principais aproximações feitas: \gamma constante ( =1{,}4) e c_p constante. Essas são aproximações comuns; para temperaturas muito altas c_p varia, o que daria um número levemente diferente. Para prova de graduação essa abordagem é padrão.
  • Interpretando o resultado: uma queda de entalpia no bocal transforma energia térmica em energia cinética, e como a queda de temperatura foi grande (~414 K) a velocidade é elevada (~913 m/s).

Resposta

v_{\text{saída}}=912{,}7\\ \mathrm{m/s}í

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